辽宁省沈阳市20242025学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1设集合，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2给出下列四个结论：“”是“”的充分不必要条件；若命题，则；若，则是的充分不必要条件；若命题q：对于任意为真命题，则其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个3下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（）ABCD4已知随机变量的分布列如下表所示，则（）123ABCD5已知数列为等差数列，为等比数列，则（）ABCD6已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）ABCD7已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（）AB且CD且8已知命题为假命题，则的取值范围为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9下列说法中，正确的是（）A若随机变量，且，则B若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1C若随机事件A，B满足：，则事件A与B相互独立D已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为10已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（）ABCD，则周期为611对于函数，下列说法正确的是（）A在处取得极大值B有两个不同的零点CD若在(0,+)上恒成立，则三、填空题（本大题共3小题）12若数列an满足，数列的前n项和为，则 13某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为 .附，0.050.013.8416.63514已知函数，若，则的最小值为 四、解答题（本大题共5小题）15设为奇函数，为常数.(1)求的值(2)若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.16已知数列的前项和为，且.(1)求证；数列是等比数列；(2)求证：.17已知 （1）求的最小值；（2）若在内恒成立，求的取值范围.18在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式(1)分别求在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：（其中为虚数单位）；(3)当时，求证：（参考数据）19现有标号依次为1，2，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望参考答案1【答案】A【详解】因为，所以，所以，由，得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A2【答案】B【详解】对于，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，错误；对于，错误；对于，若，则且，反之， 成立，因此是的充分不必要条件，正确；对于，而，则，正确，所以正确结论的个数为2.故选：B3【答案】B【详解】解：对于A，是奇函数，但无零点，不符题意；对于B，因为，所以，所以函数是奇函数，且，所以函数具有零点，满足题意；对于C，因为，又因为，所以函数不具有零点，不满足题意；对于D，因为，所以，易知函数为偶函数，不满足题意.故选:B.4【答案】C【详解】由分布列可得，解得，则，所以.故选：C5【答案】A【详解】由为等差数列，为等比数列，可得.由，当且仅当时取等，可得，故A正确，C错误.当时，；当且仅当时取等，当时，当且仅当时取等，故B，D都错误.故选：A.6【答案】C【详解】因为函数（且）满足，即，所以，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以.故选：C.7【答案】B【详解】由函数有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，结合函数图象有以下几种情况，与的图象如图1所示，则在定义域内不能是单调函数，对于的值进行分类讨论，则：当时，如图2所示；当时，如图3所示；当时，如图4所示；当时，如图5所示；当时，如图6所示；对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；对于图5，不可能有两个交点；对于图6，不可能有两个交点；综上所述：当且成立；故选：B8【答案】D【详解】法一：由题可得为真命题，易知满足，符合题意，此时；当时，可变形为，令，则，当时，fx0，当时，单调递减，且；当x0,1时，单调递减；当x1,+时，单调递增，所以当时，作出函数的图象如图所示，由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得.法二：由题可得为真命题，即直线与曲线没有交点.设直线与曲线切于点，由，得，则，所以，所以直线与曲线相切，若直线与曲线没有交点，如图所示，则.故选：D.9【答案】ACD【详解】因为，且，所以有，因此，所以选项A正确；根据线性相关有正相关和负相关，因此两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，所以选项B不正确；由，显然，因此事件A与B相互独立，所以选项C正确；在中，令，得，因此样本点的残差为，所以选项D正确，故选：ACD10【答案】BCD【详解】在中，令中，得或，A不正确；当时，在中，令中，得，因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立，当时，在中，令中，所以函数是偶函数，因此成立，B正确；在中，令中，得，令，因为xR，所以，即有，显然成立，C正确；当时，在中，令中，得，则有， 可得，因此周期为6，D正确，故选：BCD11【答案】ACD【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+)，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在(0,+)上恒成立，令则 ，因为易知当时.，当时，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.12【答案】/【详解】当时，而满足上式，因此，.故答案为：13【答案】20【详解】根据题意，列联表如下：喜欢不喜欢合计男3m3m6m女4m2m6m合计7m5m12m，有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即，解得，又，所以的最小值为.故答案为：20.14【答案】【详解】解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：15【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，即，故，当时，不成立，舍去；当时，验证满足.综上：.（2）由，即，又为增函数，由（1）所得f(x)解析式知：上递增，在单调递增-故，故.16【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由已知得，又，所以作差得，故所以又当时，又，故故数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）由（1）可知：，故所以综上可知：17【答案】（1） ；（2）,1.【详解】（1）函数的定义域为0,+设，由得：，由得：，所以在单调递减，在单调递增，（2）若在内恒成立，可得在内恒成立，令，因为，所以，所以，可得在上单调递减，所以当时，有最小值，得，所以，故的取值范围是,1，18【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），所以，在处的泰勒展开式分别为：；.（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得，所以，即.（3）由在处的泰勒展开式，先证当时，令，又，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，再令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，恒成立，则 ，所以.19【答案】(1)(2)分布列见解析(3)【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，所以3号盒子里的红球的个数的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此