山东省烟台市2023-2024学年度第一学期高二11月月考数学2024.11.15一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1等差数列3，1，5，的第15项的值是A40B53C63D762已知等差数列的前n项和为，若，则等于A18B36C54D723函数的单调增区间是（ ）ABCD4若函数在处取得极值，则（）A2B3C4D55设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A1B2C3D46函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（）A1个B2个C3个D4个7等差数列,的前项和分别为,，若，则ABCD8已知函数，若方程在R上有解，则a的取值范围为（）A 或B或CD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）ABCD10等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则11关于函数，下列判断正确的是（）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得成立D对任意两个正实数，且，若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分将答案填在题后的横线上12已知函数，则在R上的单调递减区间是 13在等比数列中，若，是方程的两根，则 .14已知函数有两个零点，则的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知数列是等差数列，且，. 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和.16设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值17已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）18甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多(1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；(2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由19某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值1B【详解】试题分析：根据数列，可得首项是=-3，公差是d=4，则=+14d=53故选B考点：等差数列2D【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由,结合等差数列的求和公式可求得.【详解】数列为等差数列，,由等差数列的性质得： ,又其前项和为,，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.3D【分析】先求函数的导函数，再令导函数大于零求解即可得增区间.【详解】，令，所以函数的单调增区间是.故选：D.4D【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.【详解】因为，所以，又函数在处取得极值，所以，即此时，当或时，当时，故是的极大值点，故符合题意故选：D5C【详解】因为S1,S2,S4成等比数列,所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,即d2=2a1d,d=2a1,所以=3.故选C.6A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项.【详解】，函数单调递增，函数单调递减，由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：从左向右看，第一个点处导数左正右负，是极大值点，第二个点处导数左负右正，是极小值点，第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，第四个点处导数左正右负，是极大值点，所以函数在开区间内的极小值点有1个，故选：A7C【详解】由题意结合等差数列的性质有：.本题选择C选项.8A【分析】由题意，的最大值为，方程在R上有解，则有，解不等式即可.【详解】函数，有，则，由辅助角公式可知，的最大值为，若方程在R上有解，则有，得，解得或.故选：A9AD【分析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B; ,可判断C，D.【详解】函数,是函数的极值点，即，,当时，,即A选项正确,B选项不正确;,即D正确,C不正确.故答案为:AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.10C【分析】对于A：根据等比数列通项公式分析判断；对于C：分类讨论公比的取值范围，结合等比数列求和公式分析判断；对于BD：举反例说明即可.【详解】设等比数列的公比为，对于选项A：因为，且，所以，故A正确；对于选项C：因为，若，则；若，则，即，所以；若，则，即，所以；若，则，即，所以；综上所述：，故C正确；对于选项BD：例如，则，符合题意，但，故BD错误；故选：AC.11BD【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，所以在内，函数单调递减；在上，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，所以函数在，上单调递减，且，所以函数有且只有1个零点，故B正确；对于选项C，若，可得，令，则，令，则，所以在内，函数单调递增；在上，函数单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递减又因为当时，所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；对于选项D，设，即有，即为，化为，故，所以，则，设（），可得，令，则在上恒成立，可得，所以，故单调递增，可得，故成立，故D正确故选：BD.【点睛】方法点睛：（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得12（均正确）【分析】求导可得，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：的定义域为R，且，令，解得，所以在R上的单调递减区间为.故答案为：（均正确）.13【分析】利用韦达定理可得，根据等比数列性质若，则，可得【详解】若，是方程的两根，则数列为等比数列，则故答案为：14【分析】求出函数的导函数，得出函数的最小值，把函数的零点个数问题转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可得到答案【详解】由题意，设函数，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数由最小值，又由当时，总有恒成立， 要使得函数有两个零点，即函数与的图象由两个不同的交点，在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，则，所以，即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数问题，其中解答中把函数的零点个数转化两个函数的图象的交点的个数，再利用导数得到函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题15（1）2n（2）【详解】解：(1)令等差数列的公差为，则由得 数列的通项公式为数列(2) 在式两边同时乘3得-得.考点：本题主要考查等差数列前n项和的应用，错位相减法求解数列的和，考查计算能力点评：解决该试题的关键是能准确的表示通项公式，求出基本量首项和公差，进而利用错位相减法得到求和问题16（1）（2）最大值是18，最小值是【分析】（1）根据奇函数可得，再利用导数的几何意义和二次函数的最值，可得的值；（2）利用导数可得函数的单调区间和极值，进而求得函数的最值.【详解】（1）为奇函数，的最小值为，又直线的斜率为，.（2），列表如下：+0-0+极大值极小值函数的单调递增区间是，函数在上的最大值是18，最小值是【点睛】本题考查导数的几何意义、导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.17（）第一年末实际住房面积的表达式，第二年末实际住房面积的表达式（）【详解】解：（1）第1年末的住房面积，第2年末的住房面积，（）第3年末的住房面积，第4年末的住房面积，第5年末的住房面积依题意可知，解得，所以每年拆除的旧房面积为18(1)；(2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求；（2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可.【详解】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为，则，当时，则，且不满足上式，则；又因为当时，则，且满足上式，所以.（2）因为，即时不合题意；当时，可知，即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购，令，即，显然，整理可得，因为，则，可知：当时，不等式不成立；当时，即不等式不成立；当时，即不等式不成立；当时，不等式成立；综上所述：当时，等式成立，所以第2029年时，乙企业被甲企业收购.19（）（）；最大值（万元）【详解】解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，