湖南省郴州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xN2x2x150,B=yy=sinx，则AB=()A. x1x1B. 0,1C. 1,0,1D. 12.已知集合A=z|z=in+1in,nN，则A的元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.已知向量a=1,2，向量b满足b=2，若ab，则向量ab与a的夹角的余弦值为()A. 2 55B. 54C. 53D. 564.已知a，b均为正实数，且满足1a+3b=2，则22a1+32b3的最小值为()A. 2B. 2 2C. 2 3D. 2 65.设a，b为正实数，则“ab”是“2alog2b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数fx=sin2xcosx在以下哪个区间上单调递增()A. 2,3B. 6,0C. 2,43D. 43,27.已知过点Pa+1,b+1的直线l与圆M:(xa)2+(yb)2=4交于A,B两点，则AB的最小值为()A. 2 3B. 3C. 2D. 2 28.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息(复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是()A. amB. ap(1+p)m+1(1+p)m+11C. ap(1+p)m+1pm1D. ap(1+p)m(1+p)m1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人为第一轮传染，第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，.假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则()A. 第三轮被传染人数为16人B. 前三轮被传染人数累计为80人C. 每一轮被传染的人数组成一个等比数列D. 被传染人数累计达到1000人大约需要35天10.已知双曲线C：x2a2y2=1a0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆x22+y2=1与双曲线C的渐近线相切，则下列命题正确的是()A. 双曲线C的离心率e=2 33B. PAPB为定值C. |AB|的最小值为3D. 若直线y=k1x+m与双曲线C的渐近线交于M、N两点，点D为MN的中点，OD(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2=1311.已知f(x)=2sin(x+)(其中0,00个单位长度变为偶函数，则的最小值是524三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx满足fx=fx+4，当x1,3时，fx=2x+a，且f2023=4，则当x7,3时，不等式fx92的解集为13.某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第3分钟时，他距地面大约为米.14.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且NM=xAB+yAD+zAP，PM=2MC，PN=ND，则x+y+z= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB4cosC=0(1)证明：a2+b2=2c2；(2)若cosB=sin2BsinAsinC，求cosA的值16.(本小题15分)已知数列an满足a1+a22+a33+ann=n2n+1(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n+2的前n项和Tn17.(本小题15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD/BC，AD=3，AB=BC=2，PA平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点(1)证明：若DM=2MP，直线MN/平面PAB;(2)求二面角CPDN的正弦值;(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为 26?若存在，求出PMPD的值;若不存在，说明理由18.(本小题17分)如图，已知椭圆C1:x22+y2=1，双曲线C2:x22y2=1(x0).P是C1的右顶点，过P作直线l1分别交C1和C2于点A，C，过P作直线l2分别交C1和C2于点B，D，设l1，l2的斜率分别为k1，k2()若直线AB过椭圆C1的右焦点，求k1k2的值;()若k1k2=1，求四边形ABCD面积的最小值19.(本小题17分)已知函数fx=aexx2cosx+1，其中e为自然对数的底数(1)当a=1时，判断函数fx在区间2,0上的单调性；(2)令gx=fx，若函数gx在区间0,2上存在极值，求实数a的取值范围；(3)求证：当a1时，fx0参考答案1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.D8.D9.CD10.ABD11.ACD12.7,54,313.2514.2315.(1)证明：由正弦定理及条件可得ba+ab4cosC=0，由余弦定理可得b2+a2ab4a2+b2c22ab=0，整理得：a2+b2=2c2，得证；(2)解：由余弦定理得cosB=a2+c2b22ac，由正弦定理得sin2BsinAsinC=b2ac，故a2+c2b22ac=b2ac，化简得a2+c2=3b2，又由(1)得a2+b2=2c2，故b= 32c，所以a= 52c，故cosA=b2+c2a22bc=34c2+c254c22 32c2= 3616.解：(1)当n=1时，a1=4当n2时，由a1+a22+a33+ann=n2n+1，得a1+a22+a33+an1n1=n12n，则ann=n2n+1n12n=n+12n，则an=nn+12n，因为a1也符合上式，所以an=nn+12n(2)由(1)可知，an2n+2=n2n1，则Tn=120+221+322+n2n1，则2Tn=121+222+323+n2n，两式相减得Tn=20+21+22+2n1n2n=202n12n2n=1+1n2n，则Tn=n12n+117.解：(1)证明：如图所示，在线段AD上取一点Q，使AQ=13AD，连接MQ，NQ，DM=2MP，QM/AP，又AD=3，AB=BC=2，AD/BC，点N为BC的中点，AQ/BN且AQ=BN，四边形ABNQ为平行四边形，NQ/AB，又NQMQ=Q，ABAP=A，平面MNQ/平面PAB，MN平面MNQ，MN/平面PAB;(2)如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，又N是BC中点，则N(2,1,0)，所以PD=(0,3,3)，CD=(2,1,0)，DN=(2,2,0)，设平面PCD的法向量n1=(x1,y1,z1)，则PDn1=3y13z1=0,CDn1=2x1+y1=0,令x1=1，则n1=(1,2,2)，设平面PND的法向量n2=(x2,y2,z2)，则PDn2=3y23z2=0,DNn2=2x22y2=0,令x2=1，则n2=(1,1,1)，所以cos=1+2+2 12+22+22 12+12+12=5 39，则二面角CPDN的正弦值为 1(5 39)2= 69;(3)存在，PMPD=13或PMPD=1，假设存在点M，设PMPD=，即PM=PD，0,1，由(2)得D(0,3,0)，P(0,0,3)，N(2,1,0)，且平面PCD的法向量n1=(1,2,2)，则PD=(0,3,3)，PM=(0,3,3)，则M(0,3,33)，MN=(2,13,33)，sin=|cos|=|2+2(13)+2(33) 12+22+22 22+(13)2+(33)2|= 26，解得=13或=1，故存在点M，此时PMPD=13或PMPD=118.解：()依题意AB斜率不为0，P点坐标为P 2,0，椭圆C1的右焦点为(1,0)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB方程为x=my+1，联立直线AB与椭圆方程x=my+1x22+y2=1，消去x得(m2+2)y2+2my1=0，=4m2+4(m2+2)=8m2+80恒成立，y1+y2=2mm2+2，y1y2=1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=2m2+2m2+2，所以k1k2=y1x1 2y2x2 2=y1y2x1x2 2(x1+x2)+2=3+2 22；()设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，直线AC，BD方程分别为x=n1y+ 2，x=n2y+ 2，则n1n2=1k1k2=1，联立x=n1y+ 2与x22+y2=1，得n12+2y2+2 2n1y=0y1=2 2n1n12+2，同理y2=2 2n2n22+2，联立x=n1y+ 2与x22y2=1，得n122y2+2 2n1y=0y3=2 2n1n122，同理y4=2 2n2n222，若k1k2=1则四边形ABCD对角线互相垂直，所以四边形ABCD面积等于对角线乘积的一半，S=12|AC|BD|=12 1+n12|y1y3| 1+n22|y2y4|=12 n12+n22+28 2|n1|n144|8 2|n2|n244|=64 n12+n22+2|4(n12+n22)225|，令t=n12+n22，易知0n122，0n222，且n1n2=1，由对勾函数性质可知，0n122时，t=n12+1n122,52)，且n12=1时t取最小值2，则t2,52)，y=t+2单调递增，且为正数，y=254t2单调