2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a,bR，那么log2alog2b是12a2的解集为()A. ,13,+B. 1,3C. ,31,+D. 3,1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数a,b,c满足abc1bcB. abacbD. ac+b2q，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响已知每次投篮甲乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815(1)求p,q的值；(2)求甲乙两人投篮总共命中两次的概率19.(本小题17分)已知函数fx=a3x2+3x是偶函数，x=x24x+6(1)求函数y=ex2a的零点；(2)当xm,n时，函数fx与fx的值域相同，求nm的最大值参考答案1.A2.B3.C4.C5.D6.B7.A8.C9.AD10.BC11.BD12.25,1513.11114.7332 315.(1)z=z1z2=2+4i1+3i=2+4i13i1+3i13i=2+6i4i+1219i2=7+i5z= 72+125= 2(2)依题意向量OA=2,4,OB=1,3于是有OAOB=21+43=10OA= 22+42=2 5,OB= 12+32= 10AOB为OA与OB的夹角，cosAOB=OAOBOAOB=102 5 10= 22AOB0,，AOB=3416.(1)由正弦定理可得：cosA+1=acosCbc=sinAcosCsinBsinC，cosA+1sinC=sinAcosCsinB，由sinB=sinA+C可得：cosAsinC+sinC=sinAcosCsinA+C，cosAsinC+sinC=sinAcosCsinAcosCcosAsinC，cosAsinC+sinC=cosAsinC，sinC0可得：cosA+1=cosA，cosA=12，A0,，A=23(2)BAC=ADC,BCA=ACD，BAC与ADC相似，满足：ACCD=BCAC，设CD=x，则有 3x=2+x 3，解得：x=1,x=3(舍去)，即：CD=1，ADC=BAC=23，在ADC中，由余弦定理可得：cos23=AD2+CD2AC22ADCD，即：12=AD2+1 3221AD，解得：AD=1,AD=2(舍去)，AD的长为117.(1)证明：因为平面QCD与直线PB相交于点S，所以平面QCD平面PAB=QS，因为四边形ABCD为平行四边形，AB/CD，AB平面QCD,CD平面QCD,AB/平面QCD，AB平面PAB，平面QCD平面PAB=QS,AB/QS，AB/CD,QS/CD，(2)过点C作CHAD于点H，PA平面ABCD,PA平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，因为平面PAD平面ABCD=AD，且CHAD，CH平面PAD，连接QH,CQH是直线CQ与平面PAD所成的角，因为点Q为PA的三等分点，PA=3 2,QA=23PA=2 2，在RtDCH中，CH=3sin60=3 32，在ACD中，利用余弦定理可得：cos120=AD2+CD2AC22ADCD=22+32AC2223,AC2=19，在RtQAC中，QC= QA2+AC2= (2 2)2+19=3 3，在RtQCH中，sinCQH=CHCQ=3 323 3=12，可得CQH=6，即直线CQ与平面PAD所成的角等于618.(1)设事件A：甲投篮命中，事件B：乙投篮命中，甲乙投篮同时命中的事件为C，则C=AB，恰有一人命中的事件为D，则D=ABAB，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A与B相互独立，AB,AB互斥，所以：PC=PAB=PAPBP(D)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)可得：pq=15p1q+1pq=815解得：p=13q=35或p=35q=13,pq,p=35,q=13(2)设Ai：甲投篮命中了i次；Bj：乙投篮命中了j次，i,j=0,1,2,3，PA0=253=8125PA1=35252+253525+25235=36125PA2=35225+352535+25352=54125PB0=233=827PB1=13232+231323+23213=49PB2=23132+132313+13223=29设E：甲乙两人投篮总共命中两次，则E=A0B2+A1B1+A2B0由于Ai与Bj相互独立，A0B2,A1B1,A2B0互斥，PE=PA0B2+A1B1+A2B0=PA0PB2+PA1PB1+PA2PB0=812529+3612549+54125827=304112519.(1)fx=a3x2+3x是偶函数，则f(x)=f(x)，即19a3x+3x=19a3x+3x，19a13x3x=0，由x的任意性得19a=1，即a=9，x=x24x+6，y=ex2a=ex24ex+618=ex24ex12=ex6ex+2，令ex6ex+2=0，则ex=6或ex=2(舍去)，即x=ln6，y=ex2a有一个零点，为ln6(2)设当xm,n时，函数fx的值域为s,t，则函数fx的值域也为s,t，由(1)知fx=93x2+3x=3x+3x2 3x3x=2，当且仅当3x=3x，即x=0时等号成立，令p=fx，则p2，x=x24x+6=(x2)2+2在区间2,+上单调递增，所以当ps,t时，s2,p的值域为s,t，即s=st=t，则s24s+6=st24t+6=t,即s,t为方程x24x+6=x的两个根，解得s=2t=3,所以当xm,n时，fx的值域为2,3，令=3xx0，则y=fx=3x+3x=+1,1，=3x在(0,+)上单调递增，对勾函数y=+1在(1,+)上单调递增，由复合函数的单调性知，fx在(0,+)上单调递增，fx是偶函数，f(x)在,0上单调递减，令fx=3，即3x+3x=3，解得3x=3+ 52或3x=3 52，即x=log33+ 52或x=log33 52，故nm的最大值为log33+ 52log33 52=log37+3 52第9页，共9页