河北省保定市2025届高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A=xx1,B=xx0，则ab=()A. 1B. 2C. 1D. 04.若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径r的数值为()A. 2B. 3C. 4D. 35.设函数fx=cosx+0,0且a+2b=1，则a2+2b+1ab的最小值是()A. 12B. 16C. 15D. 148.已知函数fx=x1,&1x1的图象经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.若l是平面的一条斜线，l=O，直线a平面且O直线a，记直线l与平面所成的角为，则下列说法正确的是()A. l与a是一对异面直线B. 若点A和B分别为直线l上和平面内异于点O的点，则AOBC. 若M和N分别是直线l与a上的动点，则满足MNl且MNa的直线不唯一D. 过直线a有且只有唯一平面与直线l平行11.若函数fx=xlnx12mx2x存在两个极值点x1,x2x2x1，下列说法正确的是()A. m=1时满足条件B. 不存在实数m使得x1,x2均为正整数C. 当x2x13时，m的最大值为 3ln36D. 对任意正整数n，均存在对应的x1,x2，使得n=x22x12lnx1x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知曲线y=ex1+ax3+1在x=1处的切线斜率为4，则实数a的值为13.函数fx=cos2x+sinxcosx+1的最小正周期是，fx在0,上的单调递减区间是14.已知递增数列an共有m项(mN,m为定值)且各项均不为零，末项am=1.若从数列an中任取两项ai和aj，当ilnn+22；(3)当n1时，设集合Bn=ai+aj32n+1ai+aj32n+2,1ij，i,jN.集合Bn中元素的个数记为cn，求数列cn的通项公式参考答案1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.ABC10.ABD11.CD12.113.；8,58(开闭区间均可)14.nm15.解：(1)a/b,32cosx=sinx，tanx=32，又x0,，sinx=3 1313,cosx=2 1313，sinxcosx=5 1313(2)由题意：a+b=cosx+sinx,12，fx=2a+ba=2cosx+sinx,12cosx,1=2cos2x+2sinxcosx1=sin2x+cos2x= 2sin2x+4，x0,4,2x+44,34，sin2x+4 22,1， 2sin2x+41, 2，f(x)的值域是1, 216.解：(1)A1A平面ABC,BE平面ABC,A1ABE，又AB=BC,AE=EC.BEAC，又A1AAC=A，A1A,AC平面ACC1A1，BE平面ACC1A1又A1E平面A1ACC1,A1EBE.又tanA1EA=tanEFC= 2A1EA=EFC,EFC+FEC=2A1EA+FEC=2，即A1EEF.又EFBE=E,EF,BE平面BEF，A1E平面BEF(2)如图所示，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴建立空间直角坐标系，易得A(2,0,0),B(0,0,0),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(1,1,0)，BA=2,0,0,BC1=0,2,2,设平面ABC1的法向量n=x,y,z，则nBA=2x=0,nBC1=2y+2z=0，取y=1，则法向量n=0,1,1由(1)可知A1E=1,1,2平面BEF的法向量cos=A1EnA1E|n|=3 2 6= 32,平面ABC1与平面BEF的夹角为617.解：(1)由正弦定理可知：bcosB=2accosC，sinBcosC=2sinAcosBcosBsinC，sinBcosC+cosBsinC=sinB+C=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB,sinA0,cosB=12，B0,B=3(2)B=3,b2=a2+c22ac12，又2b2=2c2+ac，32ac=a2,a=32c,b= 72c，cosC=a2+b2c22ab=94c2+74c2c2232c 72c=2 77(3)若边c=2由(1)(2)可知a=3,b= 7,B=3，SABC=12acsinB=3 32,SBDE=3 34，令BD=m,BE=n，则SBDE=3 34=12mn 32,mn=3，又由余弦定理得：DE2=m2+n22mn12mn=3(当m=n= 3时等号成立)，DE的最小值为 318.解：(1)gx=sinx,x0,，gx=sinx=1，解得x=2,切点为2,2，22+a=0,a=22(2)fx=ex+cosx2，当x,0时，ex1,cosx1,fx0,fx单调递减，当x0,+时，ex+cosx2=exsinx,ex1,sinx1，ex+cosx20,fx单调递增，fxf0=0,fx单调递递增综上所述，fx在,0上单调递减，在0,+上单调递增(3)fxgx恒成立ex+sinx2x+cosx20，恒成立sinx+cosx2x2ex+10恒成立令x=sinx+cosx2x2ex+1，则x=cosxsinx2sinx+cosx2x2ex=2xsinxex，令mx=xsinx，则mx=1cosx0,mx单调递增，又m0=0，当x,0时，mx0，即x0,x单调递减；当x0,+时，mx0，即x0,x单调递增；x0=0,fxgx恒成立19.解：(1)由题意得Sn=2anSn1=2an1,n2,两式相减可得an=2an2an1,an=2an1，令n=1可得S1=2a1，即a1=令n=2可得S2=2a2，即a1+a2=2a2，所以a2=2又a1+a2=12,=4数列an为首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)可知an=42n1=2n+1，所以bn=1log2an=1n+1Tn=i=1n1i+1,lnn+22=ln32+ln43+lnn+2n+1=i=1nlni+2i+1，要证Tnlnn+22成立，只需证1n+1lnn+2n+1，即1n+1ln1n+1+1令fx=xlnx+1,fx=11x+1=xx+10,x0,+，当x(0,+)时，fx单调递增，故fx=xlnx+1f0=0,f1n+10，1n+1ln1n+1+1,Tnlnn+22；(3)n1时，集合Bn=ai+aj32n+1ai+aj32n+2，即32n2i+2j32n+1,1ij,i,jN，Bn中元素个数等价于满足32n2i+2j32n+1的不同解i,j的个数，如果jn+2，则2i+2j2i+2n+332n+1，矛盾j=n+2，又21+2n+232n=2+42n32n=2+2n0，32n21+2n+222+2n+22n+2n+22n+1+2n+2=32n+，即i=1,2,3,n，共n个不同解i,j，所以cn=nn1第8页，共8页