2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是()A. x+3y=1B. x2+5x6=0C. x2+1x=7D. 3x+8=5x22.抛物线y=2(x3)2+5的顶点坐标是()A. (3,5)B. (3,5)C. (3,5)D. (3,5)3.将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()A. y=(x3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x+3)24D. y=(x3)244.红树林是一种宝贵的湿地资源.全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为x，可列方程得()A. 2.9(1+x)2=3.6B. 3.6(1+x)2=2.9C. 2.9(1+2x)=3.6D. 3.6(1+2x)=2.95.若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k1B. k1且k0C. k1D. k1且k06.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是()A. x(x+1)=15B. x(x1)=15C. 12x(x+1)=15D. 12x(x1)=157.对于抛物线y=13(x5)2+3，下列说法正确的是()A. 开口向下，顶点坐标(5,3)B. 开口向上，顶点坐标(5,3)C. 开口向下，顶点坐标(5,3)D. 开口向上，顶点坐标(5,3)8.一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x3)(x4)=0的根，则这个三角形的周长()A. 13B. 11或13C. 11D. 11和129.如图，在ABC中，B=90，BC=8cm，AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，PBQ的最大面积是()A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm210.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：abc0；2a+b=0；4a2b+c=0.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.已知二次函数y=3x2，则其图象的开口向_.(填“上”或“下”)12.方程x2=x的解是_13.若x=1是关于x的一元二次方程x22x+m=0的一个根，则m的值为_14.直角三角形两条直角边长分别为x+1，x+3，斜边长为2x，那么x= _15.方程x22x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为16.对于实数a，b定义运算“”为ab=b2ab，例如：32=2232=2，则关于x的方程(k3)x=k1的根的情况是_17.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面再上升1.5m，则水面的宽度为_m.18.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x的一部分，则水喷出的最大高度是_19.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：=5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=_s.20.如图，坐标平面上，二次函数y=x2+4xk的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k0，若ABC与ABD的面积比为1：4，则k的值为_三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题7分)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如：x2=9和(x2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=3，所以这两个方程为“同伴方程”.根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”.(写出过程) (1)(x1)2=16；(2)x24x5=022.(本小题7分)如图，一名男生推铅球(铅球行进路线呈抛物线形状)，测得铅球出手点P距地面53m，铅球行进路线距出手点P水平距离4m处达到最高，最高点距地面3m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x)2+k，其中x(m)是铅球行进路线的水平距离，y(m)是铅球行进路线距地面的高度(1)求抛物线的表达式；(2)求铅球推出的距离是多少米23.(本小题8分)阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=ba，x1x2=ca材料2：已知一元二次方程x2x1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值解：m，n是一元二次方程x2x1=0的两个实数根，m+n=1，mn=1，则m2n+mn2=mn(m+n)=11=1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程2x2+3x1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= _，x1x2= _(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值24.(本小题8分)二次函数的解析式为y=x2+(m1)x+m(1)求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有交点；(2)当m=3时，求抛物线与x轴的两个交点的坐标；当函数值大于0时，请直接写出x的取值范围25.(本小题10分)把边长为44cm的正方形硬纸板(如图1)，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2)，折纸厚度忽略不计(1)要使折成的盒子的底面积为576cm2，剪掉的正方形边长应是多少厘米？(2)折成的长方体盒子侧面积(四个侧面的面积之和)有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长26.(本小题10分)如图，抛物线y=14x2+4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，点P是射线BA上的一个动点，过点P作PBx轴交射线BC于点B，设点P的横坐标为x，BPB与ABC重叠部分的面积为S(1)判断ABC的形状，并证明；(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围27.(本小题10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(1,0)、B(4,0)、C三点，且OB=OC，点P是抛物线上的一个动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P在直线BC下方，P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P的坐标和四边形PBOC的最大面积；(3)直线BC上是否存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1.B2.B3.A4.A5.B6.D7.A8.A9.C10.C11.上12.x1=0，x2=113.314.515.116.有两个不相等的实数根17.218.419.220.4521.解：(1)(x1)2=16，x1=4，x1=5，x2=3；(2)(x5)(x+1)=0，x1=5，x2=1，两个方程有且只有一个相同的实数根x=5，这两个方程是“同伴方程”22.解：(1)由题意，P(0,53)，顶点坐标为(4,3)，代入y=a(x)2+k，=4，k=3，16a+3=53a=112抛物线的表达式为y=112(x4)2+3(2)由题意，令y=112(x4)2+3=0，x=10或x=2(x=2，不合题意，舍去) 铅球推出的距离是10米23.32 1224.(1)证明：令y=0，得到x2+(m1)x+m=0，a=1，b=m1，c=m，b24ac=(m1)2+4m=(m+1)2，又(m+1)20，即b24ac0，方程y=x2+(m1)x+m有实数根，则该函数图象与x轴总有公共点；(2)解：m=3，y=x2+2x+3=(x1)2+4，顶点坐标为(1,4)列表如下： x2101234y5034305描点；画图如下：由函数图象知，抛物线与x轴的两个交点的坐标为：(1,0)，(3,0)；由图象可得：当y0时，x的取值范围为1x325.解：(1)设剪掉的正方形的边长为xcm则(442x)2=576，即22x=12，解得x1=34(不合题意，舍去)，x2=10，剪掉的正方形的边长为10cm；(2)侧面积有最大值设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，则y与a的函数关系为：y=4(442a)a，即y=8a2+176a，即y=8(a11)2+968，a=11时，y最大=968即当剪掉的正方形的边长为11cm时，长方形盒子的侧面积最大为968cm226.解：(1)ABC为等腰直角三角形；理由如下：当y=0时，14x2+4=0，解得x1=4，x2=4，A(4,0)，B(4,0)，当x=0时，y=14x2+4=4，则C(0,4)，OA=OB=OC，AOC和BOC都为等腰直角三角形，CAO=CBO=45， ABC为等腰直角三角形；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，把C(0,4)，B(4,0)分别代入得b=44k+b=0，解得k=1b=4，直线BC的解析式为y=x+4，同理可得AC的解析式为y=x+4，设P(x,0)，当0x4时，如图1，OP=x，PB=4x，PBx轴，PBB为等腰直角三角形，S=SBPB=12(x+4)2=12(x4)2，当4x时，如图2，OP=x，PB=AP=x+4，S=SBPB=12(x+4)(4x)=12x2+8x，综上所述，y=12(x4)2(0x4)12x2+8x(4x0)27.解：(1)B(4,0)，且OB=OC，C(0,4)，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A(1,0)、B(4,0)、C(0,4)代入得