2024-2025学年山东省淄博四中高二（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,1,4)关于平面Oxy的对称点为()A. (3,1,4)B. (3,1,4)C. (3,1,4)D. (3,1,4)2.对空中移动的目标连续射击两次，设A=两次都击中目标，B=两次都没击中目标，C=恰有一次击中目标，D=至少有一次击中目标，下列关系不正确的是()A. ADB. AC=BDC. AC=DD. BD=3.O为空间任意一点，若AP=14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则t=()A. 1B. 12C. 18D. 144.西游记红楼梦水浒传三国演义是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将西游记红楼梦水浒传三国演义各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则西游记和红楼梦被分给同一个同学的概率为()A. 16B. 13C. 112D. 145.袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件M=“第一次摸得偶数”，N=“第二次摸得2”，Q=“两次摸得数字之和大于8”，R=“两次摸得数字之和是6”，则()A. M与Q相互独立B. N与R相互独立C. N与Q相互独立D. Q与R相互独立6.已知点A(2,6,2)在平面内，n=(3,1,2)是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是()A. P(1,1,1)B. P(1,3,32)C. P(1,3,32)D. P(1,3,34)7.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球至少有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是()A. P(A)=15B. P(BC)=13C. P(CE)=1D. P(D)=238.如图，在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B1B，BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形，平面A1B1C1D1/平面ABC，E是棱AA1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. 13 B. 789C. 39 D. 2 23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，以下说法正确的是()A. 非零向量a，b，若ab=0，则abB. 若对空间中任意一点O，有OP=15OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面C. 设a,b,c是空间中的一组基底，则ab,b+c,a+c也是空间的一组基底D. 若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线10.已知A，B是随机事件，若P(AB)=P(AB)=14，且P(AB)=1，则下列结论正确的是()A. P(A)=P(B)B. A，B为对立事件C. A，B相互独立D. P(B)=3411.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界)移动，且满足B1PD1E，则()A. D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13B. A1点到D1E的距离为4 23C. 线段B1P的长度的最大值为2 2D. PA与PE的数量积的范围是45,1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(2,2,1)，b=(3,0,4)，向量a在向量b上的投影向量坐标为_13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是14.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束).第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1.则独孤队不超过四局获胜的概率为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知空间向量a=(2,4,2)，b=(1,0,2)，c=(x,2,1)(1)若a/c，求|c|；(2)若bc，求cos的值16.(本小题15分)新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为90,100)，100,110)，140,150分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分)(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于120,140)的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求130,140)这组中至少有1人被抽到的概率17.(本小题15分)某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为14,13，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为512,16，求甲，乙两人临时停车付费不相同的概率18.(本小题17分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：i,j,k分别为“斜60坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60坐标为x,y,z，记作n=x,y,z(1)若a=1,2,3，b=1,1,2，求a+b的斜60坐标；(2)在平行六面体ABCDABC1D1中，AB=AD=2，AA1=3，BAD=BAA1=DAA1=60，N为线段D1C1的中点.如图，以AB,AD,AA1为基底建立“空间斜60坐标系”求BN的斜60坐标；若AM=2,2,0，求AM与BN夹角的余弦值19.(本小题17分)如图1，在MBC中，BMBC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC=AM=2，将MAD沿AD折起到PAD的位置，使PAAB，如图2，连接PB，PC(1)求证：PA平面ABCD；(2)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；(3)线段PC上一动点G满足PGPC=(01)，判断是否存在，使二面角GADP的正弦值为 1010，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由参考答案1.C2.B3.C4.A5.B6.A7.C8.B9.AD10.AD11.ABD12.(65,0,85)13.1914.0.23615.解：(1)空间向量a=(2,4,2)，c=(x,2,1)，b=(1,0,2) a/c，存在实数k，使得c=ka，所以x=2k2=4k1=2k，则x=1，则|c|= 12+22+(1)2= 6(2)bc，则bc=x+02=0，x=2，c=(2,2,1)，故cosa,c=ac|a|c|=22+24+(1)(2) 4+16+4 4+4+1= 6616.解：(1)由频率分布直方图得：(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)10=1，解得x=0.02平均分为950.05+1050.3+1150.3+1250.2+1350.1+1450.05=116.5(2)由频率分布直方图得到成绩位于120,130)和130,140)上的人数比为0.20.1=2，抽取的6人中成绩位于120,130)上的有4人，编号为1，2，3，4，位于130,140)上的有2人，编号为a，b，从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15个，其中130,140)这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab，共9个，130,140)这组中至少有1人被抽到的概率为P=915=3517.解：(1)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b0,3,6，则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为：(0,0)，(0,3)，(0,6)，(3,0)，(3,3)，(3,6)，(6,0)，(6,3)，(6,6)，共9种，其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”含(0,6)，(3,3)，(6,0)这3种结果，故甲、乙两人停车付费之和为6元”的概率为39=13(2)设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分别为事件A1，B1，停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3，B3，则P(A1)=1P(A2)P(A3)=114512=13，P(B1)=1P(B2)P(B3)=11316=12，所以甲乙两人临时停车付费相同的概率为：P(A1B1A2B2A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=1312+1413+51216=2372，所以甲乙两人临时停车付费不相同的概率为12372=497218.(1)解：由a=1,2,3，b=1,1,2，得a=i+2j+3k，b=i+j+2k，所以a+b=(i+2j+3k)+(i+j+2k)=3j+5k，所以a+b=0,3,5；(2)解：设i，j，k分别为与AB，AD，AA1同方向的单位向量，则AB=2i，AD=2j，AA1=3k，BN=BC+CC1+C1N=AD+AA112AB=2j+3ki=i+2j+3k，所以BN=1,2,3因为AM=2,2,0，所以AM=2i2j，则|AM|=|2i2j|= (2i2j)2= 4i2+