2024-2025学年上海市宝山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在以下四个图中，直线a与直线b平行的位置关系只能是()A. B. C. D. 2.已知ABC的直观图是直角边长为a的等腰直角三角形A1B1C1,B1=2，那么ABC的面积为()A. 24a2B. 22a2C. 2a2D. a23.已知直线l、m和平面、，下列命题中的真命题是()A. 若ml，l/，则mB. 若l/，则lC. 若l，/，则lD. 若l，m，则l/m4.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.用集合符号表述语句“平面经过直线l”：_6.若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为_7.已知直线ac，bc，则直线a与直线b的位置关系有_种(填数字)8.若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点A1到直线BC的距离为_9.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为3，且弧长为2的扇形，则该圆锥的体积等于_10.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1A1BD的体积为_cm311.下来命题中，真命题的编号为_(1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线；(2)若直线l平面M，则M内不存在与l不垂直的直线；(3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线；(4)若直线l/平面M，则M内不存在与l不平行的直线12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角CD1B1A的平面角大小为_13.已知ABC中，AB=AC=3，BAC=60，ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是6，则点P到平面的距离是_14.在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_15.点A是二面角l内一点，AB于B，AC于C，设AB=3，AC=2，BAC=60，则点A到棱l的距离是_16.两个边长为2的正方形ABCD和ADEF各与对方所在平面垂直，M、N分别是对角线AE、BD上的点，且EM=DN，则M、N两点间的最短距离为_三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，BC=2，ABC=90，AA1=3 (1)求四棱锥A1B1BCC1的体积；(2)求异面直线B1C1与A1C所成角的大小18.(本小题14分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， (1)求证：B1D1/平面A1BD；(2)求证：平面A1ACC1平面A1BD19.(本小题16分)如图(图中单位：cm)是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上部是实心的圆柱(1)已知铁的密度为7.86g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？(结果精确到0.1g)；(2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌0.11g，求需要用锌的总量(结果精确到0.01g)20.(本小题16分)如图，三棱锥PABC中，侧面PAB底面ABC，PA=PB，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且ABC=30，记O为AB的中点，E为OC的中点(1)求证：PCAE；(2)若AB=2，直线PC与底面ABC所成角的大小为60，求二面角PACB的大小21.(本小题18分)如图，现将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，(1)若OAB=6，斜边AB=2，点C为圆锥底面圆周上的一点，且BOC=90，D是AC的中点，求：直线BD与平面BOC所成的角的大小(用反三角函数表示)；(2)若圆锥底面的半径为10，母线长为60，求底面圆周上一点P沿侧面绕两周回到点P的最短距离；(3)若圆锥的母线长为4，S为圆锥的侧面积，V为体积，求VS取得最大值时圆锥的体积V的值参考答案1.D2.C3.C4.D5.l6.127.38.2 29.2 2310.3211.(2)(3)12.arccos1313. 3314.315.2 21316. 217.解：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，BC=2，ABC=90，AA1=3，易得A1B1平面BCC1B1，四棱锥A1B1BCC1的体积为VA1B1BCC1=13A1B1SB1BCC1=13123=2(2)BC/B1C1，异面直线B1C1与A1C所成的角为A1CB，又在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，BC=2，ABC=90，AA1=3，易得BC平面ABB1A1，BCA1B，A1B= AB2+AA12= 12+32= 10，tanA1CB=A1BBC= 102，异面直线B1C1与A1C所成角的大小为arctan 10218.证明：(1)因为ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，所以BB1/DD1，且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD/B1D1，又BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1/平面A1BD(2)因为底面ABCD为正方形，所以BDAC，又ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，所以AA1底面ABCD，又BD底面ABCD，所以BDAA1，又AA1，AC平面A1ACC1，AA1AC=A，所以BD平面A1ACC1，又BD在平面A1BD内，所以平面A1ACC1平面A1BD19.解：(1)根据已知图中的几何体的尺寸可得：圆柱体积为V1=3225=225cm3，六棱柱体积为V2=6 341225=1080 3cm3，所以零件的体积为V=V1+V2=225+1080 32577.5cm3，又因为铁的密度为7.86g/cm3，所以生产一件这样的铸铁零件需要：2577.57.86=20259.1520259.2克铁；(2)根据已知图中的几何体的尺寸可得：此零件的表面积为S=32+2325+1256+26 3412232 =150+360+432 31579.5cm2所以5000个零件的表面积为1579.55000cm2=7897500cm2所以需锌的质量为78975000.11=868725.00(g)20.解：(1)证明：连接PO，PA=PB，POAB，侧面PAB垂直于底面ABC，PO平面PAB，平面PAB平面ABC=AB，PO底面ABC，AE底面ABC，POAE，又ABC是斜边为AB的直角三角形，且ABC=30，AC=12AB，又O为AB的中点，CO=AO=12AB，AOC为等边三角形，又E为OC的中点，AEOC，POAE，AEOC，POOC=O，PO，OC平面POC，AE平面POC，又PC平面POC，PCAE； (2)由(1)知PO底面ABC，OC，OA平面ABC，直线PC与底面ABC所成角为PCO，POOC，POOA，直线PC与底面ABC所成角的大小为60，PCO=60，AB=2，所以OC=OA=1=AC，在RtPOC中，PO=tan60= 3，PA=PC=2， 取AC中点F，连接OF，PF，OC=OA，PC=PA，OFAC，PFAC，又OF平面ABC，PF平面PAC，平面ABC平面PAC=AC，PFO(锐角)为二面角PACB的平面角，由题意PF= PC2AF2= 22(12)2= 152，OF= OA2AF2= 114= 32，cosPFO=OFPF= 3 15= 55，PFO=arccos 55，二面角PACB的大小为arccos 5521.解：将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，(1)作出D在底面的投影E，连接BE，显然E为OC中点， 则直线BD与平面BOC所成的角为DBE，由题意可知AO= 3=2DE,OB=1=2OE，BE= OB2+OE2= 52，所以tanDBE=DEBE= 155，所以DBE=arctan 155；(2)沿AP将圆锥展开得扇形PAF，沿AF翻折扇形PAF得扇形PAF， 易知PF=210=20，由AP=60，可得PAF=2060=3，所以PAP=23，根据两点之间线段最短，知底面圆周上一点P沿侧面绕两周回到点P的最短距离为PP，显然APP为等腰三角形，AFPP，可得PP=sin3602=60 3；(3)设底面半径为r，则AO= 16r2，所以V=13r2 16r2,S=2r412=4r，则VS=r 16r212= r2(16r2)12r2+(16r2)212=23，当且仅当r2=16r2，即r2=8时取得等号，所以VS取得最大值时圆锥的体积V的值为16 23第9页，共9页