四川省自贡市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xZ3x0，则不等式f3x10，y0，x+3y=1，则xy3x+y的最大值为()A. 19B. 112C. 116D. 1205.已知实数a1，函数fx=4x,x02ax,x0的解集为()A. ,11,+B. 1,00,1C. ,10,1D. 1,01,+8.已知函数f(x)=log12(x22ax+2)，以下说法错误的是A. aR，使得f(x)为偶函数B. 若f(x)的定义域为R，则a( 2, 2)C. 若f(x)在区间(,1)上单调递增，则a1,+)D. 若f(x)的值域是(,2，则a 72, 72二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的有()A. 若a3b3，则abB. 若a2b2，则abC. 若ac2bc2，则abD. 若1a1b，则ab10.已知函数fx=2x1,x2若方程fxa=0有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是()A. 0B. 12C. 13D. 111.下列命题中是假命题的是()A. 命题：“x0,+， xx+1”的否定为：“x,0, xx+1”B. 设A=xx2+x60，B=0,m，且AB有四个子集，则实数m的取值范围是3,2C. 已知p：xx=2k1,kZ，q：xx=6k+1,kN，p是q的充分不必要条件D. 方程x2+a3x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a0时，g(x)=lgx，则函数(x)=f(x)g(x)的零点的个数是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知全集U=R，集合A=xR122x2，集合B=xR0log3x+125)，其中投入53m2600万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n(单位/万平方米)至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价19.(本小题17分)已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围参考答案1.C2.B3.B4.C5.B6.A7.D8.C9.AC10.BC11.ABC12.0或213.114.1115.解：因为122x2，即212x21，根据指数函数单调性可知1x1，则集合A=x|1x1，0log3x+11，即log31log3x+1log33，根据对数函数单调性知1x+13，解得0x2，即B=x0x2，则AB=x|0x1，AB=x|1x2，RB=x0或x2，RBA=x|x1或x216.解：(1)函数f(x)为奇函数证明如下：函数f(x)的定义域为1,1，f(x)=xx2+1=f(x)所以函数f(x)为奇函数(2)f(x)在1,1上为单调递增函数证明如下：设1x1x21，则f(x1)f(x2)=x1x12+1x2x22+1=(x2x1)(x1x21)(x12+1)(x22+1)因为1x1x20,x1x210，则f(x1)f(x2)故f(x)在1,1上为单调递增函数17.解：(1)因为fx=ex2x，所以fx=ex2 所以f0=1. 又f0=1, 所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y1=x, 即x+y1=0(2)由题意得，gx=ex2xa， 所以gx=ex2 由gx=ex2=0，解得x=ln2， 故当1xln2时，gx0，gx在1,ln2上单调递减； 当ln20，gx在ln2,1上单调递增 所以gxmin=gln2=22ln2a 又g1=e1+2a，g1=e2a，若函数恰有两个零点， 则g1=e1+2a0,g1=e2a0,gln2=22ln2a0,解得22ln225时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米19.解：(1)由f(x)=ae2x+(a2)exx，则fx=2ae2x+a2ex1=2ex+1aex1，导函数中2ex+10恒成立，当a0时，aex10恒成立，所以在xR上有fx0时，令fx0，xln1a，令fx0，解得x0时，f(x)在(,ln1a)单调递减，在(ln1a,+)单调递增；(2)若a0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a0不符合题意；当a0时，由(1)可知，要使函数f(x)=ae2x+(a2)exx有两个零点，则f(x)的最小值必须小于0，又f(x)min=f(ln1a)=11aln1a，则fxmin0，即11a+lna0，所以a在0,+上单调递增，又因为1=0，0a1接下来说明0a1时，fx存在两个零点：当x0，a2exa2，此时fxa2x，故fa20，又fx在(a2,ln1a)上单调递减，f(ln1a)ln1a0时，易证xex，此时fxae2x+a3ex=aexex+a3a，故f(ln3aa)0，且满足ln3aaln1a，又fx在(ln1a,ln3aa)上单调递增，f(ln1a)0，故存在x2(ln1a,ln3aa)使得fx2=0，所以当0a1时，fx存在两个零点综上所述，a的取值范围是(0,1)第7页，共7页