湖南省衡阳市衡阳县2025届高三一模数学试题一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=y|y=lg(x2x2)，B=x|y= x2x+2，则AB=()A. (1,2)B. 32,+)C. (0,+)D. R2.复数z满足z+z=|z|，则z|z|的实部为()A. 32B. 32C. 12D. 123.已知古典概型的样本空间=1,2,3,4,5,6，“事件A=1,2”，则命题“事件B=”是命题“事件A与事件B相互独立”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知,(0,2)，sin(+)=56，tan=4tan，则=()A. 3B. 4C. 6D. 235.(x21x+y)6的展开式中xy的系数为()A. 30B. 30C. 60D. 606.某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取( )个人A. 3B. 4C. 5D. 67.已知双曲线C:x2a2y2b2=1，两焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l交右支于A，B点，且AB=53AF2，若F1AB=3，则双曲线C的离心率为()A. 32B. 53C. 75D. 2二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.平面直角坐标系xOy中，若过点Ak(k2,0)，kZ作斜率不为0的直线lk，使得lk与正弦曲线y=sinx的交点中，存在点Pk，Qk满足Pk是线段AkQk的中点，则称lk是曲线y=sinx的“平均割线”，Pk为“平衡点”，则对任何一个整数k，下列描述正确的是()A. k为偶数时，存在“平均割线”B. 若存在“平均割线”lk，则lk唯一C. 若存在“平均割线”lk，则所有“平衡点”共线D. 若存在“平均割线”lk，则所有“平衡点”Pk,j(xk,j,yk,j)，jN+中间隔相等，xk,j按从小到大顺序排列成等差数列9.已知一组样本数据：1,5,a,b.其中a0，b0，将改组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是()A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列 B. 若成等比数列，a和b有3组可能取值C. 若成等差数列，a和b有3组可能取值 D. 若该数据平均数是1，则方差最小值为21410.按指对数运算律定义两个函数fx=xxxR+与g(x)=logx2x(x(1,+)，则()A. f(x)在定义域上单调递增 B. g(x)在定义域上单调递减C. 35f(x)min45 D. 若存在f(x1)=f(x2)x12e11.x，yR，非常数函数f(x)都有f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)，则下列结论正确的是()A. f(0)=1 B. 若f(2)1，f(x)是偶函数C. 若f(2)=f(2)=1，则f2k+1=0kZ D. f(2)的值不可能是3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知三角形ABC中，E，F是AC上中线BD的三等分点满足DE=EF=FB，记DF=xAB+yCE，则x+y= 13.函数f(x)= 6sin2x+2sinx的值域为14.已知由系列圆构成的点集为C=(x,y)|(xcos)2+(ysin)2=4,0，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分(空白区域)，给出以下命题：图形内部空白区域的面积最小值为图形到原点的最小距离为1=2时，图形关于直线y=x对称=2时，图形内外边界的长度和为6其中正确的有四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，侧面BCC1B1底面ABC，E，F分别为棱BC和A1C1的中点(1)求证：EF/平面ABB1A1；(2)若AA1=BC=AB，且平面ABC平面AEF，求二面角BACC1的余弦值大小16.(本小题12分)已知函数f(x)=sinxaln(b+x)(1)若f(x)在x=处的切线方程为2x+y+2(ln21)=0，求a、b的值；(2)若b=1时，在(1,2上f(x)0恒成立，求a的取值范围；17.(本小题12分)如图，已知点F1、F2分别是椭圆E:x22+y2=1的左、右焦点，点D是负半轴上的一点，|DO|=2，过点D的直线l与E交于点A与点B(1)求ABF1面积的最大值；(2)设直线PA的斜率为k1和直线PB的斜率为k2，椭圆E上是否存在点P，使得k1k2为定值，若存在，求出点P与k1k2值，若不存在，请说明理由18.(本小题12分)学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有15个台阶，从下至上记台阶所在位置为115，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨1或2个台阶(位置+1或+2).(1)记甲迈3步后所在的位置为X，写出X的分布列和期望值(2)求甲6步内到过位置8的概率；(3)求10步之内同时到过位置10和12的有多少种走法，及发生的概率19.(本小题12分)某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的15位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第k条切痕看作直线lk，设切n下，最多能切出的块数为bn，如图易知b1=2，b2=4(1)试写出b3，b4，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的15位小伙伴(不考虑大小平分)，最少要切几下；(2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切n下能划分成n+1段，由此求出数列bn的通项公式；(3)若将披萨换成一个蛋糕(近似看成空间中的一个圆柱体)，同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切n下，最多能切出的块数为cn，求出cn的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给15个人.(已知12+22+n2=16n(n+1)(2n+1)参考答案1.D2.C3.A4.C5.D6.C7.C8.AC9.AB10.BCD11.ABC12.113.54 10,54 1014.15.(1)如图，取A1B1的中点G，连接BG，FG，在A1B1C1中，因F是A1C1的中点，故FG/B1C1，且FG=12B1C1在三棱柱ABCA1B1C1中，BC/B1C1且BC=B1C1，又E为棱BC的中点，故得FG/BE，且FG=BE，故得BEFG，则有EF/BG，又因为BG平面ABB1A，EF平面ABB1A1，所以EF/平面ABB1A1(2)由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则ABC与A1B1C1都是等边三角形，如图，取B1C1上的四等分点H，满足B1H=3C1H，取B1C1的中点M，连接A1M,EM，则HF/MA1，易知EM/BB1/AA1，且EM=BB1=AA1，故可得EMA1A，则有MA1/EA，故有HF/EA,则A,E,H,F四点共面因平面BCC1B1平面ABC，平面ABC平面AEF，且平面BCC1B1平面AEF=HE,可得HE平面ABC，又AEBC故可建立以E为原点，EC，EA，EH所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系不妨取CE=2，则CC1=BC=4，由HE2+(12CE)2=CC 12可解得HE= 15,则有C1(1,0, 15)，C(2,0,0)，A(0,2 3,0)，则CC1=(1,0, 15),CA=(2,2 3,0)，设平面AA1C1C法向量为n=(x,y,z)，则nCC1=x+ 15z=0nCA=2x+2 3y=0,取z=1，可得x= 15，y= 5，故n=( 15, 5,1)为平面AA1C1C的一个法向量，因HE平面ABC，故m=(0,0,1)为底面ABC的一个法向量，则cosm,n=mnmn=11 21= 2121，设二面角BACC1的平面角为，由图知二面角BACC1为锐二面角，故二面角BACC1的余弦值为 212116.(1)f(x)=cosxab+x，由题意得f()=cosab+=2，所以ab+=1，即a=b+，f()=sinaln(b+)=2+2(1ln2)，所以aln(b+)=(b+)ln(b+)=2ln2，故a=2，b=(2)f(0)=sin0aln(1+0)=0，若(1,2上f(x)0恒成立，即f(x)min=f(0)，故f(0)是f(x)在(1,2上的极小值，所以f(0)=0，f(x)=cosxa1+x，f(0)=cos0a1+0=1a=0，解得a=1，下证a=1时，f(x)min=f(0)，令g(x)=(1+x)cosx1，g(x)=cosx(1+x)sinx，在(0,2上g(x)单调递减，g(0)=1，g(2)=12g(0)=0，由零点存在定理x1(x0,2)，使得g(x1)=0，在(x0,x1)上，f(x)=g(x)1+x0，f(x)单调递增，在(x1,2)上，f(x)=g(x)1+x0，f(x)min=minf(0),f(2)=f(0)，在(1,0上，f(x)=cosx11+x单调递增，f(x)f(0)=0，f(x)单调递减，所以f(x)min=f(0)，综上，只有当a=1时，在(1,2上f(x)min=f(0)，所以a=117.(1)因为E:x22+y2=1，所以a2=2,b2=1,c2=a2b2=1，所以|OF1|=1|DF1|=|DO|OF1|=1，由D2,0，可设l:x=my2，由题意m0，联立x=my2x22+y2=1，消元得(m2+2)y24my+2=0，设