2024-2025学年吉林省八校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线x2=120y的焦点坐标为()A. 0,30B. 0,30C. 30,0D. 30,02.圆C1:x2+y12=1与C2:x2+y2=4的位置关系为()A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切3.若双曲线x29y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为()A. 3B. 12C. 15D. 3或154.已知直线l1:x+2ky+1=0与l2:2y+3=0垂直，则k=()A. 0B. 1C. 2D. 125.已知直线l与直线xy+5=0平行，且与椭圆x2+y24=1的交点为Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=()A. 4x1+x2B. 4x1+x2C. 14x1+x2D. 14x1+x26.已知直线l1:y=kx+2k+4与l2关于原点对称，则l2恒过点()A. 2,4B. 2,4C. 4,2D. 4,27.设有一组圆Ck:(xk)2+(yk)2=k2k0，若圆Ck上恰有两点到原点的距离为1，则k的取值范围是()A. 0,1B. 21, 2+1C. 0, 2+1D. 21, 2+28.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为 5且焦距为10cm的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为() A. 4cmB. 2 5cmC. 6cmD. 3 5cm二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆C:x29+y225=1，则()A. 椭圆C的长轴长为10B. 椭圆C的一个顶点为5,0C. 椭圆C的焦距为8D. 椭圆C的离心率为4510.已知直线l:x+ym2=0和曲线C:x2+y24x+3=0y0相交于A,B两点，下列结论正确的是()A. 曲线C的长度为2B. m 2, 2C. AB0, 2D. 若D4,2，则DA=DB11.已知抛物线C：y2=2px(p0)的准线l与圆M：x2+(y4)2=1相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是()A. 点F的坐标为(1,0)B. |PN|+|PQ|的最小值为 17C. 存在两个P点，使得|PM|=|PQ|D. 若PQF为正三角形，则圆M与直线PQ相交三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.椭圆x2+y210=1的短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为13.直线l:xsin2y+2=0的倾斜角的取值范围是14.若过圆C:x2+(y2)2=r2r0外一点P2,2作圆C的两条切线，切点分别为A,B，且AB=8 55，则r= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知点A1,1,B0,1,C3,0，且四边形ABCD是平行四边形(1)求点D的坐标；(2)求平行四边形ABCD的面积16.(本小题15分)求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为74；(2)焦点在y轴上，焦距为2 10，渐近线方程为y=2x17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的点到其焦点的距离的最大值为10，最小值为2(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(3,2)，求直线l的方程18.(本小题17分)已知动点P在抛物线C:y2=2pxp0上，Q2,3，点P到C的准线的距离为d，且d+PQ的最小值为5(1)求C的方程；(2)若过点1,0的直线l与C交于A,B两点，且直线QA的斜率与直线QB的斜率之积为12，求l的斜率19.(本小题17分)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，N(1,0),M(4,0)，动点Q满足QMQN=2，设动点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线xy+1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB|；(3)若曲线C与x轴的交点为E,F，直线l:x=my1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上参考答案1.B2.D3.C4.C5.A6.A7.B8.B9.ACD10.CD11.ACD12.2；2 1013.0,414.2或415.解：(1)由题意得直线AB的斜率为kAB=1+110=2，则其方程为y=2x1，直线BC的斜率为kBC=1003=13，因为直线CD与直线AB平行，且过点C3,0，所以直线CD的方程为y=2x3，因为直线AD与直线BC平行，且过点A1,1，所以直线AD的方程为y=13x+1+1.联立y=2x3y=13x+1+1，解得x=2y=2，即点D的坐标为2,2(2)因为AB= 102+1+12= 5，又点C3,0到直线AB的距离d=231 22+12=7 55，故平行四边形ABCD的面积S=ABd=716.解：(1)因为双曲线焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为74，所以2a=8ca=74,解得a=4c=7，所以b2=c2a2=33，所以所求双曲线的标准方程为x216y233=1(2)依题意，可设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b2=1a0,b0因为焦距为2 10，所以c= 10，所以c2=a2+b2=10又渐近线方程为y=2x，所以ab=2，则a2=8,b2=2，所以所求双曲线的标准方程为y28x22=117.解：(1)由题意可知a+c=10ac=2，则a=6c=4因为b2=a2c2=20，所以椭圆C的方程为x236+y220=1(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1236+y1220=1,x2236+y2220=1,两式相减得x12x2236+y12y2220=0，整理可得y1y2x1x2=59x1+x2y1+y2因为线段AB的中点坐标为(3,2)，所以x1+x2=6,y1+y2=4，所以直线l的斜率k=y1y2x1x2=59x1+x2y1+y2=5964=56，故直线l的方程为y2=56x+3，即5x6y+27=0直线5x6y+27=0和x轴的交点为275,0，该点在椭圆C内，故直线5x6y+27=0和椭圆相交，满足条件18.解：(1)设抛物线C的焦点为Fp2,0，由抛物线的定义可得PF=d，则d+PQ=PF+PQFQ，当Q,P,F三点共线且点P在线段QF上时，PF+PQ取得最小值5，则FQ= p2+22+32=5，整理得p2+22=16，解得p=4或p=12，因为p0，所以p=4，故C的方程为y2=8x(2)设过点1,0的直线l:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2联立y2=8xx=my+1，消元得y28my8=0，则y1+y2=8my1y2=8,由kQAkQB=y13x1+2y23x2+2=y13y23my1+3my2+3=12，得m2+2y1y2+3m6y1+y2+27=8m2+2+8m3m6+27=0,代入韦达定理得：m2+28+3m68m+27=8m2+2+8m3m6+27=0,化简得16m248m+11=04m14m11=0，得m=14或114故l的斜率为4或41119.解：(1)设Qx,y，因为QMQN=2，所以|QM|2=4|QN|2，即(x4)2+y2=4(x1)2+y2，整理得x2+y2=4，所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4(2)曲线C的圆心到直线xy+1=0的距离d=1 12+(1)2= 22，所以AB=2 r2d2=2 412= 14(3)证明：设Gx1,y1,Hx2,y2,Dx0,y0联立x=my1,x2+y2=4,得m2+1y22my3=0，=4m2+12m2+10,y1+y2=2mm2+1,y1y2=3m2+1设E2,0,F2,0，所以直线EG的方程为y=y1x1+2x+2，直线FH的方程为y=y2x22x2因为直线EG与直线FH交于点D，所以y0=y1x1+2x0+2,y0=y2x22x02,则x0+2x02=y2x22x1+2y1=y2my1+1my23y1=my1y2+y1+y2y1my1y23y1=3mm2+1+2mm2+1y13mm2+13y1=mm2+1y13mm2+13y1=13，即x0+2x02=13，解得x0=4，所以点D在直线x=4上第7页，共7页