2024-2025学年湖南省联考高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x3，B=xN|32xb0)的面积为2，F1，F2为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若|PF1|+|PF2|=4，则椭圆C的焦距为()A. 3B. 2C. 2 5D. 2 35.设函数f(x)=ax2,x1lnx,x1.若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围为()A. (0,+)B. (0,2C. (,2D. (0,36.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F.点A(2,1)，P是C上一个动点，则|PF|+|PA|的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 87.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，AF/平面BCDE，ABE和CDF是全等的正三角形，BC=3，BE=2，ABC=3，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为()A. 1326B. 1313C. 2 1313D. 3 13528.已知A(2,0)，B(10,0)，若直线tx4y+2=0上存在点P，使得PAPB=0，则t的取值范围为()A. 3,215B. 215.3C. (,2153,+)D. (,795,+)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知直线l:(m+2)x+(3m)y5=0过定点P.则下列结论正确的是()A. P的坐标为(1,1)B. 当m=1时，l在y轴上的截距为52C. 若l与直线6x+y+3=0垂直，则m=3D. 点P在圆x2+y2+4x2y=0的外部10.已知函数f(x)=2sin(4x3)，则下列说法正确的是()A. 点(12,0)是f(x)图象的一个对称中心B. f(x)的单调递增区间为24+k,524+k，kZC. f(x)在(12,6上的值域为2, 3D. 将f(x)的图象先向右平移24个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)=cos8x11.若E平面，F平面，EF平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为F=t(E).如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BC=2AD，ADAB，P，N分别为AA1，CC1的中点，DQ=3QD1，AB=BC=AA1=6.记平面A1BC为，平面ABCD为，AH=AA1(00,b0)的左、右焦点，过点F2且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形MF1NF2为平行四边形.若直线NF2的斜率k67,23，则C的离心率的取值范围为_.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3sinAcosA=2.(1)求角A:(2)若a=3，求ABC的面积的最大值.16.(本小题12分)已知直线l:mx+y6m=0，圆M:(x1)2+y2=9.(1)若m=12，求直线l截圆M所得的弦长;(2)已知直线l过定点P.若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.17.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的实轴长为4 2，且过点(4,1).(1)求双曲线C的方程.(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为12的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求|AB|.(3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为14，线段MN的中点为P，证明：点P在直线x2y=0上.18.(本小题12分)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=3AA1=2A1B1=6，AA1平面ABCD.(1)证明：BD平面ACC1A1.(2)求直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角PAD1D的余弦值为211?若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.19.(本小题12分)若将任意平面向量EF=(x,y)绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量EK=(xcosaysin,xsina+ycos)，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点K.曲线7x2+7y2+2xy=96是由椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转4所得的斜椭圆.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.(3)过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线:y=29x2上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.先根据题意求出集合B，再求解AB即可.【解答】解：因为B=xN|1x0a2ln1，解得0a2.故选：B.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是抛物线的定义及标准方程的应用，属于基础题.利用抛物线的定义可求|PF|+|PA|的最小值.【解答】解：由题意得F(4,0)，准线为x=4，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有|PF|+|PA|=|PD|+|PA|AB|=4+2=6，当且仅当P为AB与抛物线的交点时取得等号，所以|PF|+|PA|的最小值为6.故选：C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，属于中档题.根据平面向量的性质，得到AEBD与|AE|，|BD|，再根据异面直线所成角得到cos=|cos|的值即可求解.【解答】解：依题意得AE=BEBA，BD=BC+BE，所以AEBD=(BEBA)(BC+BE)=BEBC+BE2BABCBABE=423cos322cos3=1，|AE|=2，|BD|= 4+9= 13，设异面直线AE与BD所成的角为，所以cos=|cos|=|AEBD|AE|BD|=12 13= 1326.故选：A.8.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，为中档题.设P(x,y)，根据PAPB=0，得出P的轨迹方程，再结合条件P为直线AB上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.【解答】解：设P(x,y)，则PA=(2x,y)，PB=(10x,y)，因为PAPB=0，所以(2x)(10x)+(y)2=0，即(x6)2+y2=16，所以点P在以(6,0)为圆心，4为半径的圆上，又点P在直线tx4y+2=0上，所以直线tx4y+2=0与圆(x6)2+y2=16有公共点，则|6t+2| t2+164，解得215t3.故选：B.9.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查直线系过定点问题，直线与直线的位置关系，点与圆的位置关系的判断，属于基础题根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出【解答】解：由题意得直线l:(m+2)x+(3m)y5=0，即m(xy)+2x+3y5=0，由xy=02x+3y5=0，解得x=1y=1，故A正确；当m=1时，直线l为3x+2y5=0，令x=0，y=52，所以在y轴上的截距为52，故B正确；由6(m+2)+3m=0，解得m=3，故C错误；因为1+1+420，所以点P在圆x2+y2+4x2y=0的外部，故D正确.故选：ABD.10.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于中档题.由已知利用正弦函数的对称性，单调性，值域，平移变换进行逐个判断.【