湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题命题单位：恩施州高中教育联盟利川一中命题人：杨胜端董坤考试满分：150分考式用时：120分钟注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答：每小题选出答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.一组数据2，5，3，7，1，6，4的第70百分位数是A.1B.4.9C.4D.52.若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为A.B.C.D.3.在平行六面体中，为DB上靠近点的三等分点，为的中点.设，则A.B.C.D.4.从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是A.B.C.D.5.已知，则A.B.C.D.6.已知实数x，y满足，则的最小值与最大值之和为A.4B.5C.6D.77.已知直线a，b，c和平面，则下列命题正确的是A.平面内不一定存在和直线垂直的直线B.若，则C.若a，b异面且，则D.若，则直线a，b，c可能两两相交且不过同一点8.设函数，下列命题正确的是A.当时，的最小正周期为B.当时，的最大值为C.的最小值与的取值无关D.的最大值与的取值无关二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数，则下列结论正确的是A.是的一个周期B.在上有2个零点C.的最大值为D.在上是增函放10.下列命题正确的是A.若事件A，B，C两两互斥则成立B.若事件A，B，C两两独立则成立C.若事件A，B相互独立则与不一定相互立D.若，则事件A、B相互独立与A、B互斥不能同时成立11.记为圆的圆心.H为轴上的动点过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是A.的最大值为4B.直线过定点C.存在点，使得D.四边形HMCN的面积的最小值为三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量满足，则_.13.已知有3名男生和2名女生，其中3名男生的平均身高为170cm方差为30，2名女生的平均身高为165cm，方差为41，则这5名学生身高的方差为_14.在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点A，E，F作该正方体的截面则该截面的周长是_.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）求；（2）若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围16.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.17.（15分）甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.（1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率；（2）求甲校以3:1获胜的概率.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，是PC的中点（1）求证：平面EDB.（2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值.（3）在棱PB上是否存在一点，使直线平面EDB？若存在，求出线段BF的长；若不存在，说明理由19.（17分）已知点与定点和点与原点的距离的比为2，记点的轨迹为.（1）求的方程.（2）已知直线与轴交于点.过点的直线与曲线交于D，E两点，求线段DE的中点的轨迹方程；求证为定值，并求出这个定值.恩施州高中教育联盟2024年秋季学期高二年级期中考试数学参考答案1.D2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.ABC10.AD11.BD12.13.40.414.15.解：（1）设，则，所以，即所以，即.设，由知，在以为圆心，2为半径的圆上，即所以，即的取值范围是8，48.16.解：（1）因为，所以由正弦定理可知，即.又，所以，即或，即或（舍去）（2）由（1）得，则.由正弦定理可知，所以.因为为锐角三角，所以，即，即，故的周长的取值范围为.17.解：（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校获胜，概率为；乙校获胜，概率为故恰好比赛三局，比赛结束的概率.（2）甲校以3：1获胜的情况如下？前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为；前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为.故甲校以3：1获胜的概率.18.（1）证明：连接AC，交BD于点，连接OE.因为是PC的中点，是AC的中点，所以，又平面平面EDB，所以平面EDB.（2）解：如图，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，即则.设平面EDB的法向量为，则令，得，所以可取.易知平面PAD的一个法向量为.设平面EDB和平面PAD的夹角为，则，所以平面EDB和平面PAD夹角的余弦值为.（3）解：由（2）知，则.由（2）知平面EDB的一个法向量可为，则直线，即，解得，故当时，则BF的长为.19.解：（1）设，则，所以，化简得.（2）不妨设曲线的圆心为，所以当C，F不重合时，为直角三角形，取BC的中点，则，所以的轨迹方程为.（2）由题意知，直线DE的斜率一定存在，设为，则，代入，得，且.不妨设，则，故.