湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A.B.C.D.3.已知向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A.B.C.D.4.已知角，满足，则（ ）A.B.C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角的余弦值为C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_.13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值. 17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间可导；.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），化简得.由余弦定理得，故；（2）设，在中，由得，解得.在中，.由、得.，从而.二面角为直二面角，平面平面，平面，平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，.设平面的法向量，则有，即令，解得.，故直线与平面所成角的正弦值为.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得，.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.，点到直线的距离为，且.记，.由，及且得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，.19.（17分）证明：（1）设，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，则.，.当，即时，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，解得.结合，且，故的取值范围为.