多边形的面积（五年级第4讲）【内容简介】我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。【例1】两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。【分析与解答】组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。10+6-（10102）-（10+6）62=38（平方厘米）。【小结】经过观察，所求的面积图形不能直接利用公式进行求解，因此需要将所求的未知图案面积转化为已知图形面积，通过将已知图形进行运算得出所求图形的面积。【例2】如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。【分析与解答】这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。【例3】如下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140平方厘米，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。【分析与解答】a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20a2和20b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20a2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。【小结】在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。【例4】下图是一块长方形耕地，它由4个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d，按公式便有。ac=15,cd=18,bd=30,因为（ac)(bd）=1530，而(ac)(bd)=(ab)(cd)=18(ab)所以ab=153018=25答：阴影部分的面积为25公顷。【例5】如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。【分析与解答】想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（平方厘米）。同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20平方厘米。所以三角形DEF的面积等于203+10=70（平方厘米）。【小结】如果两个三角形的底和高分别相等，那么这两个三角形的面积相等。【例6】一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725平方厘米，求剩下的长方形的面积。【分析与解答】由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的长方形，面积为1510=150（平方厘米）。因为甲、丙形成的长方形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的长方形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的大长方形。右上图大长方形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲+丙）+（乙+丙）=（甲+乙+丙）+丙=1725+150=1875（平方厘米）所以原正方形的的边长等于187525=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于7575-1725=3900（平方厘米）。【例7】有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。【分析与解答】把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）2=12。因为绿：红=A黄，所以绿黄=红A，A=绿黄红=121220=7.2。正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。【小结】由例6和例7给出的图形分析，观察到所给出的图形其实主要为简单的几何图形，因此通过将图形通过平移或者拼接，可以将复杂的面积图案转化成简单的基本图形面积进行求解。【练习】1.等腰直角三角形的面积是20平方厘米，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。3.如图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80平方米，正方形水池的面积是多少平方米？4.如图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28平方厘米，梯形的上底长是多少厘米？5.如下图，在三角形ABC中，BD=DE=EC，BF=FA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？7.如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？多边形的面积（五年级第4讲）【内容简介】我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。【例1】两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。【分析与解答】组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。10+6-（10102）-（10+6）62=38（平方厘米）。【小结】经过观察，所求的面积图形不能直接利用公式进行求解，因此需要将所求的未知图案面积转化为已知图形面积，通过将已知图形进行运算得出所求图形的面积。【例2】如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。【分析与解答】这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。【例3】如下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140平方厘米，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。【分析与解答】a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20a2和20b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20a2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。【小结】在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。【例4】下图是一块长方形耕地，它由4个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d，按公式便有。ac=15,cd=18,bd=30,因为（ac)(bd）=1530，而(ac)(bd)=(ab)(cd)=18(ab)所以ab=153018=25答：阴影部分的面积为25公顷。【例5】如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。【分析与解答】想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（平方厘米）。同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20平方厘米。所以三角形DEF的面积等于203+10=70（平方厘米）。【小结】如果两个三角形的底和高分别相等，那么这两个三角形的面积相等。【例6】一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725平方厘米，求剩下的长方形的面积。【分析与解答】由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的长方形，面积为1510=150（平方厘米）。因为甲、丙形成的长方形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的长方形的长也等于原正方形的边长