列方程解应用题（五年级第7讲）【内容简介】列方程解应用题是小学数学的一项重要内容，是一种不同于算术解法的新的解题方法，列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。而找出等量关系，又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点,就能正确地列出方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。列方程解应用题的一般步骤是：1.弄清题意，找出未知数,并用𝑥表示；2.找出应用题中数量之间的相等关系,列方程；3.解方程；4.检验，写出答案。【例1】商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问胶鞋有多少双？【分析与解答】此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。设胶鞋有𝑥双，则布鞋有（46-𝑥）双。胶鞋销售收入为7.5𝑥元，布鞋销售收入为5.9（46-𝑥）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：设有胶鞋𝑥双，则有布鞋（46-𝑥）双。7.5𝑥5.9(46𝑥)=107.5𝑥271.4+5.9𝑥=1013.4𝑥=281.4𝑥=21答：胶鞋有21双【例2】袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球的个数是红球的45，蓝球的个数是红球的23，黄球个数的34比蓝球少2个。袋中共有多少个球？【分析与解答】因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以设红球个数为𝑥比较简单。再根据黄球个数的34比蓝球少2个，可列出方程。解：设红球个数为𝑥，则黄球个数为45𝑥，蓝球个数为23𝑥，23𝑥45𝑥34=2(2335)𝑥=2115𝑥=2𝑥=30𝑥+45𝑥+23𝑥=30+24+20=74（个）答：袋中共有74个球。【小结】在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有𝑥双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有𝑥个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为𝑥，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为𝑥，这种方法叫间接设元法。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。【例3】某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80𝑚，灰砖30𝑚，那么，红砖缺40𝑚，灰砖剩40𝑚。问：计划修建住宅多少座？【分析与解答】方法一：用直接设元法。设计划修建住宅𝑥座，则红砖有（80𝑥-40）𝑚，灰砖有（30𝑥+40）𝑚。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程80𝑥40=（30𝑥+40）280𝑥40=60𝑥+8020𝑥=120𝑥=6答：计划修建住宅6座。方法二：用间接设元法。设有灰砖𝑥𝑚，则红砖有2𝑥𝑚。根据修建住宅的座数，列出方程。x4030=2x+4080(𝑥40)80=(2𝑥+40)3080𝑥3200=60𝑥+120020𝑥=4400𝑥=220由灰砖有220𝑚，推知修建住宅（22040）30=6（座）。同理，也可设有红砖𝑥𝑚。留给同学们做练习。【小结】无论是用直接设元法还是间接设元法，首先都要先分析题意，找出题目给出的条件之间的关系，建立等量关系。本题中运用直接设元法根据的等量关系是红砖量是灰砖量的2倍，运用间接设元法的等量关系是修建住宅的座数不变。【例4】教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？【分析与解答】解：设最初有𝑥个女生，则男生最初有（𝑥-10）2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程𝑥10=（𝑥10）295𝑥10=（2𝑥29）54𝑥10=10𝑥1459𝑥=135𝑥=15答：最初有15个女生。【例5】一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。问：共有多少人参加测验？【分析与解答】设有𝑥人参加测验。由上表看出，至少投进3个球的有（𝑥754）人，投进不到8个球的有（𝑥-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，07+15+24+6（𝑥754）=5+8+6（𝑥16）=6𝑥83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，3（𝑥341）+83+94+101=3（𝑥8）+24+36+10=3𝑥+46。由此可得方程6𝑥83=3𝑥+463𝑥=129𝑥=43答：共有43人参加测验。【例6】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。【分析与解答】设每人可免费携带𝑥千克行李。一方面，三人可免费携带3𝑥千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3𝑥）千克，超重行李每千克应付4（150-3𝑥）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-𝑥）千克，超重行李每千克应付8（150-𝑥）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程4（1503𝑥）=8（150𝑥）4（150𝑥）=8（1503𝑥）6004𝑥=120024𝑥20𝑥=600𝑥=30答：每人可免费携带的行李重量为30千克。【例7】姐妹二人三年后的年龄之和是26岁，妹妹今年的年龄恰好是姐妹二人年龄之差的2倍。问：三年后姐妹二人各多少岁？【分析与解答】姐妹年龄之差不变，抓住这个条件，可迅速理出题中关系。设姐妹年龄差为𝑥岁,则妹妹今年的年龄为2𝑥岁,从而姐姐今年的年龄为2𝑥+𝑥=3𝑥岁。三年后，妹妹(2𝑥+3）岁，姐姐(3𝑥+3）岁。根据题意列方程：(2𝑥+3)+(3𝑥+3)=265𝑥+6=265𝑥=20𝑥=4三年后妹妹的年龄为2𝑥+3=24+3=11(岁)姐姐的年龄为3𝑥+3=343=15（岁）答：三年后妹妹的年龄是11岁，姐姐的年龄是15岁。【例8】如下图,平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米,求平行四边形的面积。【分析与解答】常规解法会抓住面积相等这个等量关系来列方程，解答较复杂。若抓住周长来建立等量关系，问题便能迎刃而解。设平行四边形的面积为𝑥。752=x14+x16等号两边同时乘以112，得7556=8𝑥+7𝑥𝑥=280即平行四边形的面积为280平方厘米。【例9】有大、中、小三种衬衣的包装盒共50个，分別装有70、30、20件衬衣，一共装了1800件衬衣，其中中盒的数量是小盒的三倍。求三种盒子各有多少个？【分析与解答】本题中要求求出小盒的数量，就直接设小盒的数量是𝑥个。中盒的数量已知是小盒的数量的3倍，也就是说，小盒的数量是𝑥个，中盒的数量就是3𝑥个。设完未知数，就要找等量关系，如本题中“一共装了1800件衬衣”，就表达了相等的含义：大盒装的衬衣+中盒装的衬衣十小盒装的衬衣=1800小盒装的衬衣数量用未知数表达就是20𝑥中盒装的衬衣用未知数表达就是30（3𝑥）,大盒装的衬衣用未知数表达就是70(50𝑥3𝑥)。解：设其中小盒的数量是𝑥个，则中盒的数量是3𝑥个，大盒的数量是(50𝑥3𝑥)个,于是有方程20𝑥+30(3𝑥)+70(50𝑥3𝑥)=1800170𝑥=1700𝑥=10所以，小盒的数量是10个；中盒的数量是310=30（个）；大盒的数量是50-10-30=10（个）。【小结】在用列方程解决较复杂的问题时，需要注重分析题意找到题目给出的信息之间的数量关系，以及相应的等量关系。在设定未知数𝑥后，灵活运用数量关系和未知数𝑥表示出其余的未知量，才能正确列出方程并解答。【练习】1.甲、乙二人共存款100元，如果甲取出49，乙取出27，那么两人存款还剩60元。问：甲、乙各有存款多少元？2.甲、乙两个容器共有溶液2600克，从甲容器取出14的溶液，从乙容器取出15的溶液，结果两个容器共剩下2000克溶液。问：两个容器原来各有多少溶液？3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？5.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？6.由于浮力的作用，金放在水里称重量减轻119；银放在水里称，重量减轻110。有一块重500克的金银合金，放在水里称减轻了32克，这块合金含金多少克？7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是97；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是75。这群羊原来有多少只？