数的整除特性（奥数训练）小学五年级数学竞赛全国通用版一解答题1有一个四位数，若能被2、3、4、5、6、8、9整除，最小是多少？2一个5位数812，能被12整除，则这个5位数最大是多少？最小是多少？3将1至11这11个自然数，按从小到大的顺序依次写下来，得一多位数：1234567891011，试问：将这个多位数的个位数字改成多少，这个数就能被9整除？4证明：由两个数字组成的两个两位数的差能够被9整除5五位能被3整除，它的最末两位数字组成的又能被6整除，求这个五位数6若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的77倍是偶数，十位数字不大于6，则这个两位数是多少？7六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？8某个自然数的前四位为2012，并且这个数能被2、3、4、5、6、8、9整除，问这个数最小是多少？9一个能被11整除的四位数，去掉它千位和个位上的数字，是一个能同时被2、3、5整除的最大两位数，符合要求的四位数中最小一个数是多少？10数字和不大于6，又是3的倍数的四位数有多少个？11形如且能被11整除的最小自然数n是多少？12一个能被11整除的五位数，去掉千位和万位上的数字是一个同时能被2、3、5整除的最小三位数，符合要求的五位数中最小的是？13将自然数1、2、3，依次写下去组成一个数：12345678910111213，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？14说明1231415能被9009整除15一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？16在用8个不同的数码组成一个八位数中，能被36整除的最小的数是几？17能否用1、2、3、4、5、6六个数码组成一个没有重复数字且能被11整除的六位数？为什么？18能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？19只修改21475的某一位数字，就可知使修改后的数能被225整除，怎样修改？20试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于1321某个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？数的整除特性（奥数训练）小学五年级数学竞赛全国通用版参考答案与试题解析一解答题（共21小题）1有一个四位数，若能被2、3、4、5、6、8、9整除，最小是多少？【答案】见试题解答内容【分析】先找出2、3、4、5、6、8、9的最小公倍数是360，据此求出360的倍数中，最小的四位数即可【解答】解：根据题干分析可得，2、3、4、5、6、8、9的最小公倍数是360，因为360的倍数从小到大有：360、720、1080，所以能被2、3、4、5、6、8、9整除的最小四位数是1080答：最小是10802一个5位数812，能被12整除，则这个5位数最大是多少？最小是多少？【答案】见试题解答内容【分析】能被12整除，也就是能同时被3、4整除，能同时被3和4整除的数必须具备：个位和十位上所组成的两位能被4整除，各个数位上的数的和能够被3整除根据此特征得出此数最大和最小的数值【解答】解：1234，能被4整除的数十位上的数可以是1、3、5、7、9；能被3整除的数各个数位上的数的和必须是3的倍数，万位、千位、个位上的数字和已经为：8+1+211，所以要使此数最小，十位上的数字为1，百位上的数字为0即可，要使此数最大，十位上的数字为7，百位上的数字为9即可；即最小数是81012，最大数是81972答：这个5位数最大是81012，最小是811323将1至11这11个自然数，按从小到大的顺序依次写下来，得一多位数：1234567891011，试问：将这个多位数的个位数字改成多少，这个数就能被9整除？【答案】见试题解答内容【分析】将1234567891011的各个数位上的数字加起来可得48，根据能被9整除的数的特征可得个位再加上54486，即将这个多位数的个位数字改成7，这个数就能被9整除【解答】解：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+148，6948+1，5448+1，7所以将这个多位数的个位数字改成7，这个数就能被9整除4证明：由两个数字组成的两个两位数的差能够被9整除【答案】见试题解答内容【分析】设原来的两位数是10a+b，则调换位置后的新数是10b+a原来的两位数与新两位数的差为（10b+a）（10a+b），可化为9b9a9（ba），所以这个数一定能被9整除【解答】证明：设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的字，那么这个两位数可以表示为：10a+b则对调后得到的新的两位数是：10b+a则（10b+a）（10a+b）9b9a9（ba）故这个数一定能被9整除故由两个数字组成的两个两位数的差能够被9整除5五位能被3整除，它的最末两位数字组成的又能被6整除，求这个五位数【答案】见试题解答内容【分析】4D97D能被3整除，则每个数位上的数字相加的和是3的倍数，而7D又能被被6整除，也就是能被2和3同时整除，则D可以是0、2、4、6、8，且每个数位上的数字相加的和是3的倍数，据此即可得解【解答】解：据分析可知：4+9+7+D+D20+2D，当D2时，7+29能被6整除，42972能被3整除；当D4时，7+411不能被6整除，44974不能被3整除；当D6时，7+613不能被6整除，46976不能被3整除；当D8时，7+815不能被6整除，48978能被3整除；所以这个五位数是42972和489786若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的77倍是偶数，十位数字不大于6，则这个两位数是多少？【答案】见试题解答内容【分析】能被5整除的数（5的倍数）的个位上的数字是0或5，而由题中条件“它的77倍是偶数”，可知这个两位数个位上的数字只能是0；两位数中个位上的数字是0的数有10、20、30、70、80、90，再根据题中条件“十位数字不大于6”，可排除70、80和90这三个数；这时，只剩10、20、30、40、50、60和90；因为既不能被3整除，又不能被4整除”的数（不是3或4倍数的数），所以排除20、30、40、60，只剩下10、50；据此解答即可【解答】解：根据能被5整除的数的特征可知：这个数的个位是0或5，根据条件“它的77倍是偶数”，可知这个两位数个位上的数字只能是0；两位数中个位上的数字是0的数有10、20、30、70、80、90；再根据题中条件“十位数字不大于6”，既不能被3整除，又不能被4整除”的数（不是3或4倍数的数），所以排除70、80、90、20、30、40、60，只剩下10、50；答：这个两位数是10或507六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？【答案】见试题解答内容【分析】因为是6的倍数，则A是2的倍数，A可以是2、4、6、8、0；然后3+3A+2B是3的倍数，也就是说B是3的倍数，那么B可以是3、6、9；进而根据乘法原理求出这样的六位数的个数【解答】解：由分析可知：则A是2的倍数，A可以是2、4、6、8、0；然后3+3A+2B是3的倍数，也就是说B是3的倍数，那么B可以是3、6、9；所以这样的六位数有：3515个；答：这样的六位数有15个8某个自然数的前四位为2012，并且这个数能被2、3、4、5、6、8、9整除，问这个数最小是多少？【答案】见试题解答内容【分析】能被8整除的一定能被2，4整除，能被9整除的一定能被3整除，而能被8，9整除的数一定能被6整除，因此题目就化为N能被5，8，9整除的最小值【解答】解：5、8、9的最小公倍数是：589360，360589212040；答：这个数最小是2120409一个能被11整除的四位数，去掉它千位和个位上的数字，是一个能同时被2、3、5整除的最大两位数，符合要求的四位数中最小一个数是多少？【答案】见试题解答内容【分析】能同时被2、3、5整除的最大两位数，这个可以很容易得出是90，即百位和十位分别是9和0；四位数能被11整除，且为最小四位数，如果这个数字是a90b，那么最小也是1900，1900除以11是172多一点，则最小的这个数是11的173倍，为1903【解答】解：一个能被11整除的四位数，去掉它千位和个位上的数字，是一个能同时被2、3、5整除的最大两位数，这个数是90，即百位和十位分别是9和0；四位数能被11整除，且为最小四位数，如果这个数字是a90b，1900111728，173111903答：符合要求的四位数中最小一个数是190310数字和不大于6，又是3的倍数的四位数有多少个？【答案】见试题解答内容【分析】因为能被3整除的数的特征是：该数各个数位上数的和能被3整除，分析各个数位上数出现的情况所组成的四位数的个数，然后相加即可【解答】解：31+1+1+0，可组合成3个满足条件的4位数；31+2+0+0，可组合成6个满足条件的4位数；33+0+0+0，可组合成1个满足条件的4位数；61+1+1+3，可组合成4个满足条件的4位数；61+1+4+0，可组合成9个满足条件的4位数；61+5+0+0，可组合成6个满足条件的4位数；61+2+3+0，可组合成18个满足条件的4位数；61+2+1+2，可组合成6个满足条件的4位数；62+2+2+0，可组合成3个满足条件的4位数；62+4+0+0，可组合成6个满足条件的4位数；63+3+0+0，可组合成3个满足条件的4位数；66+0+0+0，可组合成1个满足条件的4位数；所以，一共有：3+6+1+4+9+6+18+6+3+6+3+166个数满足条件；答：数字和不大于6，又是3的倍数的四位数有66个11形如且能被11整除的最小自然数n是多少？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，且能被11整除，那么这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数，从个位往高位上数，第一个1990开始，1、9是奇数位、9、0是偶数位，n个1990的奇偶位数字和之差是（1+9）（9+0）nn，那么这个数的奇偶位数字和之差是n+（1+92）n+8；然后再进一步解答即可【解答】解：根据题意可得：如且能被11整除，那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数；这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和之差：（1+9）（9+0）n+（1+92）n+8；要使n+8是11的倍数，那么nN至少等于3，3+811是11的倍数，即：199019901990129 能被11整除答：且能被11整除的最小自然数n是312一个能被11整除的五位数，去掉千位和万位上的数字是一个同时能被2、3、5整除的最小三位数，符合要求的五位数中最小的是？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，2、3、5的最小公倍数23530，所以，能同时被2、3、5整除的最小三位数是120；设这个五位数是ab120，因为这个数能被11整除，然后再根据能被11整除的数的特征进一步解答即可【解答】解：根据题意可得：2、3、5的最小公倍数23530，所以，能同时被2、3、5整除的最小三位数是120；设这个五位数是ab