第三节二项式定理【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)二项式定理二项式定理:(a+b)(a+b)n n=_.(2)(2)二项展开式的通项二项展开式的通项:第第k+1k+1项为项为:T:Tk+1k+1=_.(3)(3)二项式系数二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为二项展开式中各项的二项式系数为_._.(k=0,1,2,n)(k=0,1,2,n)(4)(4)二项式系数的性质二项式系数的性质:性质性质性质描述性质描述对称性对称性与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等,即即增减性增减性二项式二项式系数系数当当k (nNk (nNk (nN*)时时,是递减的是递减的最大值最大值当当n n为偶数时为偶数时,中间的一项中间的一项 取得最大值取得最大值当当n n为奇数时为奇数时,中间的两项中间的两项 和和 取得最大值取得最大值2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(a+b)(1)(a+b)n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于_,_,即即_._.(2)(2)二项展开式中二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和的和,即即 =_.=_.2 2n n2 2n-1n-13.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法:公式代入法、赋值法、放缩法等公式代入法、赋值法、放缩法等.(2)(2)数学思想数学思想:函数与方程思想、转化与化归思想函数与方程思想、转化与化归思想.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:a a加加b b的的n n次方次方,展开比展开比n n多一项多一项,全组合作系数全组合作系数,指数之和都一样指数之和都一样.【小题快练小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)在二项展开式中第在二项展开式中第k k项为项为 a an-kn-kb bk k.(.()(2)(2)通项通项 a an-kn-kb bk k中的中的a a和和b b不能互换不能互换.(.()(3)(3)二项展开式中二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项系数最大的项为中间一项或中间两项.(.()(4)(a+b)(4)(a+b)n n的展开式中某一项的二项式系数与的展开式中某一项的二项式系数与a,ba,b无关无关.(.()(5)(a+b)(5)(a+b)n n某项的系数是由该项中非字母因数部分某项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号等构成包括符号等构成,与该项的二项式系数不同与该项的二项式系数不同.(.()【解析解析】(1)(1)错误错误.在二项展开式中第在二项展开式中第k+1k+1项为项为 a an-kn-kb bk k,而第而第k k项应为项应为 a an-k+1n-k+1b bk-1k-1.(2)(2)正确正确.通项通项 a an-kn-kb bk k中的中的a a与与b b如果互换如果互换,则它将成为则它将成为(b+a)(b+a)n n的第的第k+1k+1项项.(3)(3)错误错误.由二项展开式中某项的系数的定义知由二项展开式中某项的系数的定义知:二项展开式中系数最二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项大的项不一定是中间一项或中间两项,而二项式系数最大的项则为中而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项间一项或中间两项.(4)(4)正确正确.因为二项式因为二项式(a+b)(a+b)n n的展开式中第的展开式中第k+1k+1项的二项式系数为项的二项式系数为 ,显然它与显然它与a,ba,b无关无关.(5)(5)正确正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号构成的包括符号构成的,一般情况下一般情况下,不等于二项式系数不等于二项式系数.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(选修选修2-3P37T5(2)2-3P37T5(2)改编改编)展开式中的常数项为展开式中的常数项为.【解析解析】令令10-5r10-5r0 0，得，得r r2 2，故常数项为，故常数项为 (-2)(-2)2 240.40.答案：答案：4040(2)(2)(选修选修2-3 P35T1(2)2-3 P35T1(2)改编改编)化简：化简：的值为的值为_._.【解析解析】因为因为所以所以答案：答案：2 22n-12n-13.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2015(1)(2015沈阳模拟沈阳模拟)已知已知(x-)(x-)7 7的展开式的第的展开式的第4 4项等于项等于5.5.则则x x等于等于()()A.B.-C.7 D.-7A.B.-C.7 D.-7【解析解析】选选B.(x-)B.(x-)7 7的展开式中的展开式中 ，所以，所以x=-.x=-.(2)(2014(2)(2014新课标全国卷新课标全国卷)(x)(xa)a)1010的展开式中的展开式中,x,x7 7的系数为的系数为15,15,则则a=_.(a=_.(用数字填写答案用数字填写答案)【解析解析】因为因为 ,所以所以 15,15,解得解得a a .答案：答案：(3)(2015(3)(2015烟台模拟烟台模拟)化简化简 的值为的值为_._.【解析解析】令令x x1 1得得再令再令x x-1-1得得两式相加得两式相加得 又又 1 1，得得答案：答案：2 22n-12n-1-1-1考点考点1 1 求二项展开式的特定项或系数求二项展开式的特定项或系数【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014四川高考四川高考)在在x(1+x)x(1+x)6 6的展开式中的展开式中,含含x x3 3项的系数项的系数为为()A.30 B.20 C.15 D.10A.30 B.20 C.15 D.10(2)(2014(2)(2014湖南高考湖南高考)(x-2y)(x-2y)5 5的展开式中的展开式中x x2 2y y3 3的系数是的系数是()A.-20 B.-5 C.5 D.20A.-20 B.-5 C.5 D.20【解题提示解题提示】(1)(1)展开式中的展开式中的x x3 3项就是项就是(1+x)(1+x)6 6中的中的x x2 2项项.(2)(2)利用二项展开式的通项公式求解利用二项展开式的通项公式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为x(1+x)x(1+x)6 6=x+6x=x+6x2 2+15x+15x3 3+20 x+20 x4 4+15x+15x5 5+6x+6x6 6+x+x7 7,故选故选C.C.(2)(2)选选A.A.因为因为 (-2y)(-2y)3 3=-20 x=-20 x2 2y y3 3,所以所以x x2 2y y3 3的系数是的系数是-20.-20.【互动探究互动探究】第第(1)(1)题中条件不变题中条件不变,求展开式系数相同项共求展开式系数相同项共对对.【解析解析】依题意可知依题意可知:x(1+x):x(1+x)6 6的展开式中系数相同的项即为的展开式中系数相同的项即为(1+x)(1+x)6 6展展开式中系数相同的项开式中系数相同的项,而而(1+x)(1+x)6 6展开式中系数相同的项共有展开式中系数相同的项共有3 3对对.答案答案:3 3【规律方法规律方法】求二项展开式中的特定项或项的系数的方法求二项展开式中的特定项或项的系数的方法(1)(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数和整数.解决这类问题时解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数先要合并通项中同一字母的指数,再根据上再根据上述特征进行分析述特征进行分析.(2)(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利一般要利用通项公式用通项公式,运用方程思想进行求值运用方程思想进行求值,通过解不等式通过解不等式(组组)求取值范围求取值范围.【变式训练变式训练】1.(20151.(2015天津模拟天津模拟)在在(2x(2x2 2-)-)5 5的二项展开式中的二项展开式中,x x的系数为的系数为()A.10A.10B.-10B.-10C.40C.40D.-40D.-40【解析解析】选选D.TD.Tr+1r+1=(2x=(2x2 2)5-r 5-r =(-1)=(-1)r r 2 25-r5-rx x10-3r10-3r,令令10-3r=1,10-3r=1,得得r=3,r=3,所以所以x x的系数为的系数为-2 22 2=-40.=-40.2.(20152.(2015新乡模拟新乡模拟)若若(1+2x)(1+2x)6 6的展开式中的第的展开式中的第2 2项大于它的相邻两项，项大于它的相邻两项，则则x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】依题意依题意 即即解得解得答案：答案：【加固训练加固训练】设设 的展开式中的展开式中x x3 3的系数为的系数为A A，二项式系数为，二项式系数为B B，则则 _._.【解析解析】令令6-6-3 3，得，得r r2 2，所，所以以T T3 3 (-2)(-2)2 2x x3 360 x60 x3 3，所以，所以x x3 3的系数为的系数为A A6060，二项式系数为，二项式系数为B B 1515，所以，所以答案：答案：4 4考点考点2 2 二项式系数或各项系数和的问题二项式系数或各项系数和的问题【典例典例2 2】(1)(1)设设(1+x)(1+x)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+an nx xn n,若若a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n=63,=63,则展开式中系数最大的项是则展开式中系数最大的项是()A.15xA.15x2 2 B.20 x B.20 x3 3 C.21x C.21x3 3 D.35x D.35x3 3(2)(2)若若(2x+3)(2x+3)3 3=a=a0 0+a+a1 1(x+2)+a(x+2)+a2 2(x+2)(x+2)2 2+a+a3 3(x+2)(x+2)3 3,则则a a0 0+a+a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3=.【解题提示解题提示】(1)(1)在在(1+x)(1+x)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+an nx xn n中中,令令x=1x=1可得可得a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n的值的值,令令x=0 x=0可得可得a a0 0的值的值.(2)(2)令令x=-2,x=-2,可得可得a a0 0,令令x=0,x=0,可得可得a a0 0+2a+2a1 1+4a+4a2 2+8a+8a3 3的值的值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.在在(1+x)(1+x)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+an nx xn n中中,令令x=1x=1可可得得a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n=2=2n n;令令x=0 x=0可得可得a a0 0=1.=1.依题意得依题意得:2:2n n-1=63,-1=63,解得解得:n=6,:n=6,所以展开式中系数最大的项为所以展开式中系数最大的项为 x x3 3=20 x=20 x3 3.(2)(2)令令x=-2x=-2得得a a0 0=-1.=-1.令令x=0 x=0得得27=a27=a0 0+2a+2a1 1+4a+4a2 2+8a+8a3 3.因此因此a a1 1+2a+2a2 2+4a+4a3 3=14.=14.因为因为 (2x)(2x)3 33