2024-2025学年山东省淄博第七中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）ABCD答案：C解：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（）ABCD答案：A解：乙不输与甲获胜对立事件，乙不输的概率是，故选：A.3对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（）A四点必共面B四点必共面C四点必共面D五点必共面答案：B解：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：B.4如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（）A120B90C60D30答案：B解：以为原点，建立如图所示的空间直线坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，2，2，2，异面直线与所成的角为故选：5如图，在四面体中，分别是，的中点，则（）ABCD答案：A解：在四面体中，分别是，的中点，故选：A6已知随机事件A，B满足，则（）ABCD答案：D解：依题意，.故选：D7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（）ABCD答案：B解：解：如图，过作平面于点，过作于点，连接，则即为所求，因为满足，所以，所以，故选：8已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（）ABCD答案：D解：直线l的方向向量为和，可得，则向量直线l上的投影向量的坐标为.故选：D.二、多选题9下面结论正确的是（）A若，则事件A与B是互为对立事件B若，则事件A与B是相互独立事件C若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件D若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件答案：BD根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.解：对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD10已知是正方体，以下正确命题有（）ABC向量与向量的夹角为60D正方体的体积为答案：A解：设正方体的边长为，A选项， .，所以A选项正确.B选项，是数量积运算，结果是实数，是向量，所以B选项错误.C选项，根据正方体的性质可知，所以，即向量与向量的夹角为，C选项错误.D选项，正方体的体积为，所以D选项错误.故选：A四、多选题11已知向量，其中，则以下命题正确的是（）A向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）；B的最大值为；C（，的夹角）的最大值为；D若定义，则的最大值为.答案：ACD解：对于A，取轴的正方向单位向量，则，向量与轴正方向的夹角恒为定值，故A正确；对于B，当且仅当时取等号，因此的最大值为1，故B错误；对于C，由B可得，的最大值为，故C正确；对于D，由C可知：，故D正确故选：ACD.12已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是 .答案：解：向量在坐标平面上的投影向量是.故答案为：.13已知长方体中，为的中点，则点到平面的距离为 答案：解：解：以为坐标原点，射线、依次为、轴，建立空间直角坐标系，则点，2，0，0，4，从而，0，2，4，设平面的法向量为，由可得，令，所以点到平面的距离为：故答案为：14已知矩形，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是 .答案：作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角的大小为，表示出、两点坐标，根据距离公式列方程解出.解：在矩形中，作于点，交于点，作于点，在翻折后，以为原点，以、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，则为二面角的平面角，设，则，得，.因此，二面角的大小是.故答案为：.15已知空间中三点，设，.(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐标.答案：(1)(2)或解：（1）由题知，所以，因为，所以.（2）因为， ，所以，因为，所以，解得 ， 所以或.16已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个的概率；（2）事件A，B，C至多发生两个的概率答案：（1）；（2）解：（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)P(AB)P(AC)P(BC)，事件A，B，C只发生两个的概率为（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)事件A，B，C至多发生两个的概率为17已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，(1)求；(2)求答案：(1)3(2)解：（1）设，由题意得：，；（2）18已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.写出样本空间；设事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.答案：(1)甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)答案见解析；解：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）设甲年级的是，乙年级的是，丙年级的是，则样本空间为；由得，事件包含的基本事件为共5种，所以.19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.（1）求证：平面PBC平面PQB；（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60？答案：（1）证明见解析；（2）当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.解：（1）ADBC，Q为AD的中点，BC=AD，BCQD，BC=QD，四边形BCDQ为平行四边形，BQCD.ADC=90，BCBQ.PA=PD，AQ=QD，PQAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD，PQBC.又PQBQ=Q，BC平面PQB.BC平面PBC，平面PBC平面PQB.（2）由（1）可知PQ平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，0)，C(-1，0)，=(0，0)，=(0，0)，=(1，0，)，=(-1，-)，PC=.设=，则=(-，-)，且01，得M(-，)，=(-，(1-).设平面MBQ的法向量为=(x，y，z)，则，即令x=，则y=0，z=，平面MBQ的一个法向量为=，0，.设平面PDC的法向量为=(x，y，z)，则，即令x=3，则y=0，z=-，平面PDC的一个法向量为=(3，0，-).平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60，cos60=，=.PM=PC=.即当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.