2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置.1已知集合，则（）ABCD2函数是（）A奇函数B偶函数C既非奇函数也非偶函数D既是奇函数也是偶函数3已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）ABCD或4将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则是偶函数是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知向量，若，则（）A1或B或C或2D或16设，满足.若函数存在零点，则（）ABCD7已知，则（）A1B2C3D28对，不等式恒成立，则（）A若，则B若，则C若，则D若，则二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（）ABCD10已知函数，则（）A若，则B若，则C若，则在0,1上单调递减D若，则在上单调递增11已知函数的定义域为，若，则（）ABCD三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12曲线在点处的切线的斜率是 .13已知复数的实部和虚部都不为0，满足；.则 ， .（写出满足条件的一组和）14已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知在中，.(1)判断的形状，并说明理由;(2)若点在AB边上，且.若，求的面积.16在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.(1)求的方程;(2)若点关于直线对称的点在上，求的值.17一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵.(1)若，求此时的信息熵;(2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.（参考不等式:若，则）18已知函数.(1)若，求的单调区间;(2)若，求证:;(3)若使得，求证:.19已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.(1)若数列，求集合，并写出的值;(2)若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;(3)若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.1A【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则，解得，则，所以.故选：A2B【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】当时，则，当时，则，综上可得，fx=fx，即函数为偶函数.故选：B3A【分析】根据渐近线方程可得，故，即可由离心率公式求解.【详解】的渐近线方程为，因此，故，故离心率为，故选：A4B【分析】根据题意，由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由题意可得，由是偶函数可得，且，当时，当时，所以由是偶函数可得或，故充分性不满足；当时，可得为偶函数，故必要性满足；所以是偶函数是的必要不充分条件.故选：B5D【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值.【详解】，即或.故选：D.6B【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数，由于，故，满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数，由于存在零点，故故选：B7C【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解.【详解】由可得，故选：C8D【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确.【详解】由得，对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，当时，要使恒成立，则需，即恒成立，当时，要使恒成立，则需，即恒成立，当时，要使恒成立，则需，即恒成立，综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.对于选项C、D，若，要使不等式恒成立，则需，函数在为增函数，函数有相同的零点，由得，由得，即，选项D正确.故选D.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下：（1）不等式变形为.（2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误.（3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得.9BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.10ACD【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD.【详解】对于AB，因为，所以是的极小值点，则，解得，此时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故A正确，B错误；对于C，若，则，当时，所以在上单调递减，故C正确；对于D，若，则，当时，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD.11BC【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或f1的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出f1的值，令化简得到即可得出结论.【详解】令，则令，则则，或令，则若，则，矛盾，则，A选项错误；令，则，B选项正确；令，则，则，即，C选项正确；由A、C选项中结论，令，则，则令，则，即，D选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论.12【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率.【详解】对函数求导得，当时，因此，所求切线的斜率为，故答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要知系切线的斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.13 【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可.【详解】设，则，由，整理得，即，所以，可取，所以.故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）14【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解.【详解】当时，则，当时，不妨设，则，因为双曲线经过点，所以，所以，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，所以，同理，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，所以，所以，即，综上所述，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.15(1)三角形为直角三角形，(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状，（2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解.【详解】（1）由可得，故，进而，由于,故，又，故,化简可得,故，由于B0,故，进而,故三角形为直角三角形，（2）由于，且为直角三角形，设，则,故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，故16(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到；（2）根据题意，由点关于线对称可得点1,1关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果.【详解】（1）因为的外接圆的面积为，则其半径为，且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上，其中焦点，准线方程为，所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为，即，所以的方程为.（2）设点1,1关于直线对称的点为，则两点连线的中点坐标在直线上，即，化简可得，由对称性又可知，1,1和所在直线与垂直，则，联立可得，解得，所以，又因为在抛物线上，则，即，即，即，即，所以，其中时，所以，所以，即.17(1)(2)证明见详解.【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果；（2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义.【详解】（1）当时，且，（2）令，则，有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定，当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的.18(1)单调递减区间是0,+，无增区间.(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减；（2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证；（3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距