上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空）2已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 3向量且，则 .4已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 .5若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为 .6若平面与平面平行，则直线的位置关系为 7已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 .8如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的面积为 .9某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 10在体积为9的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为2，则三棱锥SA1B1C1的体积为 11设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，分别表示，的面积，则的最大值是 12如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 二、单选题13设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则14如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD15九章算术涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（）A立方尺B立方尺C立方尺D立方尺16如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有A个B个C个D个三、解答题17已知空间中三点、，设，(1)若，且，求向量；(2)求以、为一组邻边的平行四边形的面积S18如图，在三棱锥中，底面，垂足为，(1)求证：侧面侧面；(2)为的中点，垂足为，求与侧面所成角的大小19三棱台中，若面，分别是中点. (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离20如图，是圆的直径，是圆上异于、的动点，垂直于圆所在的平面，且(1)若点为线段的中点，求证：平面；(2)当三棱锥体积的最大时，求异面直线与所成角的大小；(3)若，点在线段上，求的最小值21如图所示，长方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图的四棱锥(1)求点P到平面ABCM的最大距离；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；(3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值参考答案：题号13141516 答案CADC 1【分析】由平面的基本定理判断即可.【详解】直线与直线外的一点可以确定一个平面，所以点A与直线的位置关系是点，故答案为：23【分析】根据长方体的对角线长公式计算【详解】长方体的对角线长为故答案为：331【分析】利用向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】，所以x=1.故答案为：14【分析】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，由计算即可得.【详解】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，故点关于平面的对称点坐标为.故答案为：.5【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为，故侧面积为.故答案为：6平行或异面【分析】根据面面平行的性质进行判断即可.【详解】平面平面，平面与平面没有公共点，直线没有公共点直线的位置关系是平行或异面故答案为：平行或异面7或【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小【详解】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，由于，故，又，平面，故平面，又，平面，故，所以为二面角的平面角，因为直线所成角的大小为，所以或，当时，如图因为，所以；当时，如图因为，所以;综上，二面角的大小为或故答案为：或8【分析】首先求出，再画出平面图形，从而求出其面积.【详解】因为，所以，由直观图可得如下平面图形，则，所以.故答案为：9【分析】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可.【详解】球心的截面图如图，则，由截面圆的周长为，得，解得，球的半径是，所以该球的表面积为.故答案为：.10【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为，高为，则，再设到底面的距离为，则，得，所以，则到上底面的距离为，所以三棱锥的体积为故答案为1【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为，本题是中档题112【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.【详解】设,因为两两垂直，扩展为长方体，所以该长方体的体对角线为球的直径，所以，因为 所以，当且仅当时取得等号，故答案为：2.12【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，可得：设，且则有：，可得：则有：故则当且仅当时，故答案为：13C【分析】由空间中线面的位置关系逐项判断即可.【详解】两条平行线中有一条和平面垂直，那么另外一条也和该平面垂直，故A正确；由于垂直于同一个平面的直线平行可知B正确；若，则或，故C错误；若，则，故D正确；故选：C14A【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.【详解】=故选：A.15D【分析】利用圆台体积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆台上底半径为，下底半径为，则，解得：，即：下底半径为5尺，上底半径为尺，设分别为上下底面面积，所以圆台的体积为：立方尺.故选：D.16C【详解】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点；（2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C.考点：新定义17(1)或(2)3【分析】（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果（2）求出， ， ，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求解.【详解】（1）因为，所以， ，且，设，解得，或（2）因为， ，.18(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明侧面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）先证明侧面，则即为与侧面所成角的平面角，再解即可.【详解】（1）因为面，面，所以，又侧面，所以侧面，又因为侧面，所以侧面侧面；（2）因为，为的中点，所以，因为侧面，侧面，所以，又因为侧面，所以侧面，所以即为与侧面所成角的平面角，在中，在中，所以，在中，所以，即与侧面所成角的大小为19(1)证明见解析(2)【分析】（1） 连接、，即可得到四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；（2）方法一：几何法，过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为，由线面垂直的性质得到，再由，从而得到平面，再证明平面，从而求出，最后由点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即可得解；方法二：利用等体积法计算可得.【详解】（1）连接、，由分别是的中点，根据中位线性质，且，由棱台性质，于是，又由可知，四边形是平行四边形，则，又平面，平面，于是平面.（2）方法一： 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.由题干数据可得，根据勾股定理，因为面，面，所以，所以，所以平面，又平面，则，又，平面，于是平面.又平面，则，又，平面，故平面，在中，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是.方法二：过作，垂足为，作，垂足为，因为面，面，所以，所以，所以平面，由题干数据可得，根据勾股定理，设点到平面的距离为，则，由，解得.20(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由等腰三角形的性质、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明平面；（2）分析可知，当时，取最大值，此时，三棱锥的体积取最大值，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；（3）由题设易得，将绕旋转至，使之与平面共面，易知要使的最小，即、共线，进而求的最小值.【详解】（1）证明：在中，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，因此，平面.（2）解：因为点在圆上，仅当时，到的距离最大且为，又因为，所以，面积的最大值为，又三棱锥的高，故当时，三棱锥的体积取最大值，此时点为的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，所以，因此，异面直线与所成角的大小为.（3）解：在中，则，同理，又因为，则，在三棱锥中，将绕旋转至，使之与平面共面，如图所示：当、共线时，取得最小值.又因为，则，所以，又因为，所以，垂直平分，即为中点，此时，则，因此，最小值为.21(1)(2)(3)【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点P到平面ABCM的距离最大，利用勾股定理求解即可；（2）作出辅助线，