四川省自贡市田家炳中学20242025学年高二上学期期中检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1已知空间向量，且，则实数（）ABCD62过点且与直线平行的直线方程是ABCD3如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）ABCD4设，向量，且，则（）ABC3D45在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为AB1CD6若直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A1BC3D47已知直线l方程为f（x，y）0，P1（x1，y1）和P2（x2，y2）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）f（x1，y1）f（x2，y2）0表示（）A过点P1且与l垂直的直线B与l重合的直线C过点P2且与l平行的直线D不过点P2，但与l平行的直线8在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9在下列四个命题中，错误的有（ ）A坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B直线的倾斜角的取值范围是C若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为10（多选题）正三棱柱中，则（）A与底面的成角的正弦值为B与底面的成角的正弦值为 C与侧面的成角的正弦值为D与侧面的成角的正弦值为11已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有（）A平面平面BC直线与所成角的余弦值为D平面三、填空题（本大题共3小题）12无论为何值，直线必过定点坐标为 13已知直线：，直线：，若，则 .14如图，四边形中，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则在四面体中，下列说法正确的是 （填写序号）.（1）；（2）与平面所成的角为30；（3）四面体的体积为；（4）二面角的平面角的大小为45.四、解答题（本大题共5小题）15已知中，点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.16直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程.17如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. (1)当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有.18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABDC，BAD90，点E为PB的中点，且CD2AD2AB4，点F在CD上，且（）求证：EF平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，PAPD且PAPD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值19如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.参考答案1【答案】A【详解】由题意，空间向量，因为，可得，即，可得 ，解得.故选：A.2【答案】C【解析】设所求的直线方程为，代入点，即可求得本题答案.【详解】因为所求直线方程与直线平行，所以可设为，又因为经过点，代入可得，则所求直线方程为.故选：C3【答案】C【解析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果【详解】，故选：4【答案】C【详解】因为，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以，故，则，故选：C.5【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：6【答案】B【详解】由直线与直线平行，可得，解之得则直线与直线间的距离为故选：B7【答案】C【详解】P1（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）0，f（x，y）f（x1，y1）f（x2，y2）0，化为f（x，y）f（x2，y2）0，显然P2（x2，y2）满足方程f（x，y）f（x1，y1）f（x2，y2）0，又因为f（x2，y2），则f（x，y）f（x2，y2）0与f（x，y）0平行，所以f（x，y）f（x1，y1）f（x2，y2）0表示过点P2且与l平行的直线故选：C8【答案】C【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆面，椭圆的短轴长， 如图：圆的直径在地面的投影为，则为椭圆的长轴，为圆面与阴影面所成二面角的平面角，根据椭圆的面积公式可得，所以要使椭圆的面积最大，只要最大即可，在ABC中，由正弦定理可得，所以，当时，取得最大值4，此时，所以圆面与阴影面所成角的大小为.故选：C.9【答案】ACD【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确；对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.故选ACD.10【答案】BC【详解】如图，取中点，中点，并连接，则，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设，则.底面的其中一个法向量为，与底面的成角的正弦值为，错对的中点的坐标为,侧面的其中一个法向量为，与侧面的成角的正弦值为：，故对错；故选：BC11【答案】AC【详解】对于A，平面，平面，在正六边形中，又，平面，又平面，平面平面，故A正确；对于B，平面，平面，则，所以当时，平面，平面，又平面，这与，不垂直矛盾，故B不正确；对于C，直线CD与PF所成角为，平面，平面，所以在直角三角形中，由知，可得，故C正确；对于D，若平面，平面平面，这与，不平行矛盾，故D不正确.故选：AC.12【答案】【详解】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.13【答案】【详解】因为，所以，即，所以.故答案为：14【答案】（1）（4）【详解】对于（1），可知在四面体中，平面平面，平面，在中， 在中，满足，故（1）正确；对于（2），由（1）知平面，即为与平面所成的角，可知是等腰直角三角形，故（2）错误；对于（3），故（3）错误；对于（4），可知，即为二面角的平面角，且，故（4）正确.故答案为：（1）（4）.15【答案】（1）；（2）.【详解】（1）直线的斜率为，直线的方程为：，即；（2）点C到直线的距离， ，故的面积.16【答案】【详解】设l与l1的交点坐标为，l与l2的交点坐标为，由中点坐标公式得，即，解得则l的方程为，即.17【答案】(1)平面，理由见解析(2)证明见解析【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行在中，分别为、的中点，又平面，平面，平面（2）证明：平面，平面，又，平面，平面.又平面，.又，点是的中点，又,平面，平面.平面，.18【答案】（）证明见解析；（）【详解】解：（）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在PAB中，ME为一条中位线，则，又由题意有，故，四边形DFEM为平行四边形，EFDM，又EF平面PAD，DM平面PAD，EF平面PAD；（）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面PAD平面ABCD，且PNAD，平面PAD平面ABCDAD，可知PN平面ABCD，又ADNH，故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PBF的一个法向量为，则，可取，又，故，直线PA与平面PBF所成角的正弦值为1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.2. 向量法：直线a的方向向量和平面的法向量分别为和.直线a的方向向量和平面所成的角满足: 19【答案】（）见解析（）（）【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.【详解】请在此输入详解！