金沙县精诚中学2024-2025学年度第一学期10月月考高三年级数学试卷 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2.请将答案正确填写在答题卡上，回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，回答非选择题时，将答案写在答题卡的对应位置上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.第I卷（选择题）一、单选题：下列每小题仅有一个选项正确，共有8小题，每小题5分，共40分1. 复数，则z的模为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的模的求法求解即可.复数,则z的模为:.故选：D.【点睛】本题考查复数的模的求法.属于基础题.2. “”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，得到，从而判断“”是“”成立的必要不充分条件.，解得：，故，因为，但，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B3. 已知向量，若向量与垂直，则实数（）A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.，若向量与垂直，则，解得.故选：A4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出a,b,c所处的大致范围，从而得到结果.且即本题正确选项：【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题.5. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是A. 3B. 2C. D. 1【答案】B【解析】【分析】首先求出圆的圆心和半径，并判断直线过圆心，求得，再转化为二次函数求最小值.，圆的圆心为，半径，因为直线所截得的弦长为，所以直线过圆心，即，即，当时，取得最小值2. 故选：B【点睛】本题考查直线与圆相交，最值问题，重点考查计算能力，属于基础题型.6. 若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的可能取值（）A. 5B. 2C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】原方程可转化为，作出函数与图象即可求解.因为不是方程的解, 所以方程可变形为,可考虑函数与图象共有三个公共点,如图，当时，仅1个公共点，不符合；当时，结合图象，由方程有一解，可得，所以符合要求.故选：A7. 如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，设平面的法向量为，则，解得，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则.故选：D8. 已知函数为定义在R上的奇函数，且，则下列说法正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性和推导周期，赋值可判断；奇函数性质结合周期性可判断；根据奇偶性和可判断；先求出，然后利用周期性可判断.因为，所以，又函数为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，所以，即的周期为4.将代入，得，正确；，正确；因为，所以，错误；由可得，所以，所以，正确.故选：C【点睛】本题关键在于利用已知推导周期，然后合理赋值即可求解.周期的推导，通常需要多次迭代才能得到.二、多选题9. 已知函数，则（）A. 是奇函数B. 的最小正周期为C. 的最小值为D. 在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】首先化简函数，再根据函数的性质判断各选项.，函数的定义域为，对A，所以函数是奇函数，故A正确；对B，函数的最小正周期为，故B错误；对C，函数的最小值为，故C正确；对D，函数不单调，fx在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：AC10. 已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A. 抛物线C的准线方程为B. 直线与C相切C. 若，则的最小值为4D. 若，则的周长的最小值为11【答案】ABD【解析】分析】确定，设，计算A正确，联立方程得到B正确，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案.抛物线C：，即，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确；对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；对选项C：，时取等号，错误；对选项D：过点作垂直于准线于，当共线时等号成立，正确.故选：ABD11. 已知函数，则（）A. 当时，函数的极小值点为1B. 当时，函数的递减区间为C. 若在区间上单调递增，则D. 若方程有三个实数解，则【答案】AB【解析】【分析】当时，求导，即可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB，作出函数的大致图象，方程有三个实数解，即函数的图象有三个交点，结合图象即可判断D；在区间上单调递增，在区间上恒成立，分离参数求解即可.对于ABD，当时，则，令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值点为1，故AB正确；方程有三个实数解，即函数的图象有三个交点，又，当时，且，当时，如图，作出函数的大致图象，由图可知，故D错误；对于C，若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，即，即在区间上恒成立，又因为，所以，所以，故C错误.故选：AB.第II卷（非选择题）三、填空题：下面共有3小题，每小题5分，总共15分12. 已知等差数列的前n项和为，则_【答案】0【解析】【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组求解.设等差数列的公差为d，由，得，解得故答案为：013. 已知，则_【答案】【解析】【分析】先根据两角和差公式化简，再在等式左右平方，最后结合二倍角正弦公式可得.由题知，则，则.故答案为：.14. 在如图的九宫格中，填入4个a，满足各行，各列至少有一个a；同一格不能填2个a.则满足条件且对角线上没有a的概率等于_.【答案】【解析】【分析】求出填入4个a，满足各行，各列至少有一个a，同一格不能填2个a，则满足条件且对角线上没有a的情况数，求出满足条件且对角线上没有a的概率.填入4个a，满足各行，各列至少有一个a，同一格不能填2个a，个a按条件填入九宫格，某一行一定有两个a，有三种情况，三个空格选两个a，有三种情况，另外两个a在最后两行选，且至少有一个在某一确定列，所以个a按条件填入九宫格有种方法，满足条件且对角线上没有a一共有种情况，所以满足条件且对角线上没有a的概率为.故答案为：.四、解答题15. 在中，角的对边分别为.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式对化简可求出，再利用余弦的二倍角公式可求得结果，（2）利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系可求出，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】由，得.又，可知，所以.由，得，或（舍去），所以.【小问2详解】由，得，整理得，解得.又，所以.16. 已知函数（），其中e为自然对数的底数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若函数的极小值为，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）求导计算，得到切线方程.（2）考虑和两种情况，求导得到函数单调区间，得到，构造函数，根据单调性计算得到答案.（1），函数在点处的切线方程为：，即.（2）函数的定义域为，当时，对于恒成立，在单调递减，在上无极值.当时，令，得.当时，当时，.在单调递减，在单调递增，当时，取得极小值.，即.令（），则.，在上单调递增.又，.【点睛】本题考查了求切线方程，根据函数极值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面证明：；求平面与平面所成的锐二面角的大小【答案】证明见解析；.【解析】【分析】由余弦定理得，从而，由底面，得，从而平面，由此能证明;以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能法出平面与平面所成的锐二面角的大小解：证明：，由余弦定理得，从而，又底面，可得，平面，平面所以平面，又平面，.如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，得，故平面与平面所成的锐二面角的大小为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a的值，再根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的分位数.（2）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1求出a，再求出分位数作答.（2）求出在和中的人数，再利用列举法求出概率作答.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得；由频率分布直方图得的频率为，的频率为，所以估计参与调查人群的样本数据的分位数为.【小问2详解】20人中，年龄在中的有人，记为A，B，年龄在中的有人记为a，b，c，从年龄在的5人中随机抽取两位，基本事件有：，共10个，两人恰有一人的年龄在内的基本事件有：，共6个，所以两人恰有一人的年龄在内的概率为.19. 已知双曲线一条渐近线方程为，虚轴长为2.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，可得双曲线的方程；（2）直线与双曲线联立方程组，设，两点和点坐标，由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设定点为，由恒成立，结合韦达定理求出.【小问1详解】由已知得，解得，.双曲线的方程为：.【小问2详解】将代入，得，.因与有两个交点，所以，且.设，则，从而.根据对称性可知，如果直线过定点，则所过定点必在轴上，不妨设为，则，.过定点，即对恒成立.即，即.因为，所以.所以.代入上式得，.上式对恒成立，当且仅当，即直线恒过定点.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的