浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.直线的倾斜角是A.B.C.D.2.向量，若，则A.，B.，C.，D.，3.若点在圆内，则的取值范围是A.B.C.D.4.若直线与直线垂直，则的值是A.2B.0C.0或2D.2或-25.已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么A.B.C.D.6.已知平面上两定点，则满足（常数且）的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在中，则面积的最大值是A.4B.C.D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率A.B.C.D.8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市、，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。9.下列选项正确的是A.空间向量与垂直B.已知空间向量，则在方向上的投影向量的模为C.已知向量，若可作为一组基底，则可取1D.若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为10.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B.存在点，使得的长度为4C.椭圆上存在4个不同的点，使得D.内切圆半径的最大值为11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有A.曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B.曲线夹在直线和直线之间C.曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍D.曲线上任意两点距离都不超过第卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线经过的定点坐标为_.13.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为_.14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是_.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知的顶点在直线上运动，点为，点为.（1）求直线的方程；（2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由.16.在平面直角坐标系中，已知圆及点和（1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径；（2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围.17.如图，且，平面平面，四边形为正方形.（1）求证：.（2）若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆左、右焦点分别为，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；（3）求四边形的面积的最小值.19.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；（3）若四个平面，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积.浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。题号12345678答案CBDCADBA8.解：作与，作与，直线的方程为，故又可得，从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有选错的得0分。题号91011答案BCACDABC11.解：A.，有，有，时，有，时，经过的整点有：，共9个，故A正确.B.曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为，是夹在直线和直线之间，故B正确.C.曲线和都可以分解为一个正方形和四个半圆，前者所围成区域面积为后者9倍.故C正确.D.曲线上任意两点最大距离为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。题号121314答案14.解：令，即，代入椭圆方程得，令，解得，（可验证等号可取），故的最小值是.四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.解：（1）由，得由点斜式方程，化简得（2）的面积为定值由于，故又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离.16.解：（1）圆可化为，圆心为，半径直线的方程为，圆心到直线距离为.由弦长公式，得.（2）点在以为直径的圆上，不妨记为圆，从而圆与圆有两个交点.圆心距，只需满足，得，故17.解：（1）证明：如图，连接，又，又平面平面，且交线为，平面，而四边形为正方形，则，且，平面，平面，.（2），平面，故平面平面，从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，又点在线段上，且点到平面距离为，故点为线段的三等分点（靠近点）.如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，.又，设平面的法向量，则，不妨令，可得，同理，平面的法向量设平面与平面所成角为，所以存在点，且平面与平面所成角的余弦值为.18.解：（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴，即，在上，所以，解得：，所以椭圆方程为；（2）所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值3，所以的取值范围为（3）（i）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得.设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，.四边形的面积当时，上式取等号.（ii）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积6.综上，四边形的面积的最小值为.19.解：（1）平面的法向量，平面的法向量，所以，故（2）证明：不妨设，在平面内取一点，则向量，取平面的一个法向量，则所以点到平面的距离为.（3）由解得交点，同理，可得其它交点，又四面体外接球体积为，故外接球半径设球心为，则，即有得或当球心坐标为时，得（舍去）当球心坐标为时，得（舍去）或，故到平面即的距离为，又，故.