20242025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）ABCD2已知直线和直线平行，则实数m的值为（ ）A0BC1D或13在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，则（ ）ABCD4已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）ABCD5正四棱柱中，E，F，G分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）ABCD7在平行六面体中，底面是正方形，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）ABCD8过直线上一点P作圆的切线，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9下列命题正确的有（ ）A若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则B若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C已知向量，若，则为钝角D在四面体中，若Q为的重心，则10已知直线与圆，则（ ）A当时，直线平分圆CB直线与圆C总有两个公共点C直线被圆C截得的最短弦长为D被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条11正方体的棱长为2，点P是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）A若P是线段上的动点，则B若P是线段上的动点，的最小值为C若E是的中点，且，则点P的轨迹围成图形的面积为D若E，F分别是线段，的中点，当P在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程_13已知向量在向量上的投影向量是，且，则_14已知点P是直线与直线的交点，则点P的轨迹方程为_；若点Q是圆上的动点，则的最大值为_（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积16（15分）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为（1）求直线的方程和点C的坐标；（2）求的面积17（15分）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，（1）证明：平面平面；（2）若E为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值18（17分）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点（）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（）若，求直线的方程19（17分）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点（1）若N为的中点，证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由20242025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题ABDB DCAB二、选择题9BD 10ABD 11AD三、填空题12，等 1314，四、解答题15（1）证明：以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以，令得，所以，又平面，所以平面；（2），点F到平面的距离，由题意可知，所以，所以，三棱锥的体积16解：（1）因为边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为，所以联立，得，设点关于直线的对称点为，所以解得，即，所以，所以直线的方程为设直线的方程为，过点，所以，直线的方程为，联立，解得（2）因为边所在直线方程为，所以，点A到直线的距离，所以17（1）证明：取中点O，连结，在中，所以为等边三角形，所以，底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以，为二面角的平面角，在中，所以，可得，所以，所以，平面平面（2）解：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，且，设平面的法向量为，所以，令，设直线与平面所成角为，则，所以，所以，直线与平面所成角的余弦值为18解：（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，且M是线段的中点，所以，于是，因为点A在圆上上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即把代入，得，整理，得，（2）为定值，过点作直线与圆M相切，切点为T，易得，所以为定值，且定值为12依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设设，将代入，并整理，得，或经检验，时，时，所以所以，直线的方程为19解：（1）证明：设，可知的面积，的面积，三棱台的体积，所以连结，可得，所以，即，因为M，N分别为，的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以，易知，所以平面，又平面，所以，又，所以平面（2）解：以M为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以令，易知，平面的法向量，设二面角所成角为，则，所以二面角所成角的余弦值为；（3）设，所以，又，设平面的法向量为，所以，令，则，因为，设直线与平面所成角为，则，整理得，即或，所以，当点N为线段的三等分点时，直线与平面所成角的正弦值为