陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A.B.C.D.0，12.设复数，且，则A.-8B.8C.-2D.23.已知直线与平行，且过点，则A.-3B.3C.-2D.24.若，则的值为A.B.C.D.5.直线被圆截得的弦长为A.B.C.D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，则点到直线的距离为A.B.C.D.7.已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是A.点到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.的面积D.三棱锥的体积二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与交于点，则A.B.C.点到直线的距离为D.点到直线的距离为10.已知空间向量，则下列说法正确的是A.B.C.D.11.直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是A.B.C.4D.5三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_.13.若正实数a，b满足，则的最小值是_.14.已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数的取值范围为_.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是AC边上的中点，求直线BD的方程;（2）求AB边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）已知圆C过点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程;（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.17.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，点E，F分别为棱的中点.（1）求证:平面;（2）求直线与直线AF的夹角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知x，y是实数，且.（1）求的最值;（2）求的取值范围;（3）求的最值.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，且，点E，F分别是棱AB，PC的中点.（1）求证:平面PAC;（2）若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为.求PA的长;求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值.2023级高二第一学期期中考试检测卷数学参考答案、提示及评分细则1.A 由，解得，由，解得，所以，所以，故选A.2.D .3.D 因为直线与直线平行，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.B 因为，则.故选B.5.C 圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为.故选C.6.C 取AC的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为.故选C.7.D 根据题意可知，圆外离，又，.故选D.8.B A选项中，平面QEF与平面为同一个平面，点到平面的距离为;B选项中，当、固定时，可移动，故直线PQ与平面PEF所成的角不为定值；C选项中，的面积为定值；D选项中，的面积为定值，故为定值.9.ABD 根据题意可得，解得，则点到直线的距离.10.BCD ，又，故A错误;，则，故B正确;因为，所以，故C，D正确.故选BCD.11.BC 曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，解得，当点在直线上时，可得.12.或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即;若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为;综上所述:所求直线方程为或。13.16 由（当且仅当，即时取等号），可得，故的最小值为16。14. 令从点出发的光线射到轴上的入射点为，反射光线的反向延长线必过点，设直线的方程为，当直线与圆相交时，反射光线被圆挡住不能到达点，则不被挡住时，解得，直线与直线的交点，因此，所以实数的取值范围为.15.解:（1）因为点是AC边上的中点，则，所以，所以直线BD的方程为，即;6分（2）因为，所以AB边上的高所在的直线的斜率为，所以AB边上的高所在的直线方程为，即.13分16.解:（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为，2分直线AB的垂直平分线的方程为，整理为，3分联立方程，解得，5分由圆的性质可知，圆心的坐标为，可得圆的半径为，6分故圆的标准方程为；7分（2）当直线的斜率不存在时，直线正好与圆相切，故此时直线的方程为，9分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理为，由直线与圆相切，有，解得，13分可得直线的方程为，整理为，故直线的方程为或15分17.（1）证明:由于三棱柱是直三棱柱，所以2分因为点E，F分别为棱的中点，所以2分则四边形是平行四边形，所以，6分又因为平面平面，所以平面8分（2）解:因为直三棱柱，所以以为原点，AB，AC，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，10分不妨设，则，于是，12分设直线与直线AF的夹角为，则，14分所以直线与直线AF的夹角的余弦值为.15分18.解:（1）设，化为，可知直线与圆有交点，3分有，解得，可得的最小值为1，最大值为21;6分（2）设，化为，可知直线与圆有交点，8分有，解得或，故的取值范围为；11分（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，13分圆的圆心到坐标原点的距离为，15分故的最小值为,最大值为.17分19.（1）证明:在矩形ABCD中，且是AB的中点，所以，所以，又，所以，即1分记，连接PO，如图所示，所以是AC的中点，又，所以2分又平面平面ABCD，平面平面平面PAC，所以平面4分又平面ABCD,所以.5分又平面PAC，所以平面PAC; 7分（2）解：以O为坐标原点，OE，OP所在的直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，所以，所以，设平面PDB的法向量为，又，所以由，令，解得，所以平面PDB的法向量为，9分因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为，所以，10分解得，所以;11分因为，设平面PDE的一个法向量为，又，所以，令，解得，所以平面PDE的一个法向量为，13分设平面FDB的一个法向量为，又，所以，令，解得，所以平面FDB的一个法向量为，15分设平面PDE与平面FDB的夹角为，所以，即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为.17分