莆田砺志学校2024-2025学年（上）第二次阶段性质量检测高三年级数学学科试卷一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C2. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.由题意可得，则.故选：B.3. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C即可得解.】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，取，满足，但，故B错误；对于D，取，则，故D错误；对于C，因为，则，又，所以，故C正确.故选：C.4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零解：由，得，又因为，即，得故，的取值范围是，且定义域就是故选：B5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为.故选：C.6. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：若，则或 若，则或若且，则 若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断；举反例即可判断；根据线面平行的性质即可判断.对，当，因为，则，当，因为，则，当既不在也不在内，因为，则且，故正确；对，若，则与不一定垂直，故错误；对，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，则，又因为，则，故正确；对，若与和所成的角相等，如果，则，故错误；综上只有正确，故选：A.7. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.延长与交于点由，得，因为所对的圆心角为直角，所以，所以该梅花砖雕的侧面积，扇环的面积为，则该梅花砖雕的表面积故选：C8. 已知四边形中，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）A B. C. D. -1【答案】C【解析】【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，只需考虑点E在边上的运动情况即可，因为，知，即，则，当点E在边上运动时，设，则，则,当时，最小值为；当点E在边上运动时，设,则,则 ，当时，的最小值为；综上，的最小值为；故选：C【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 设正实数满足，则（ ）A. 的最小值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当且，即，时等号成立，故A正确；对于B，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.10. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（ ）A. 展开式中奇数项的二项式系数之和为64B. 展开式中存在常数项C. 展开式中含项的系数为560D. 展开式中系数最大的项为【答案】ACD【解析】【分析】利用通项公式结合第4项与第5项的二项式系数相等可知，可推出，再由各项系数和为2187，利用赋值可得，解得，从而得到一个已知的二项式，再利用二项式系数的性质和方法去判断各选项.由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，又展开式的各项系数之和为2187，即当时，解得，所以二项式的系数之和为，又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，则奇数项的二项式系数之和为，故A正确；由的展开式的通项，令，解得，故展开式中不存在常数项，故B错误；又令，解得，所以展开式中含项的系数为，故正确；由得，又，所以5，所以展开式中系数最大的项为，故D正确.故选：ACD.11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，则（ ）A. 当时，该几何体的体积为45B. 当时，该几何体为台体C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为D. 当点到直线距离最大时，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据题意结合图形利用分割法球体积；对于B：根据题意结合台体的结果特征分析判断；对于C：根据台体的结构特征结合正方体的内切球分析求解；对于D：建系，利用空间向量球点到面的距离，结合单调性分析求解.若，即，可知为矩形，对于选项A：当时，即，取的中点，连接，如图所示：因为底面，底面，则，且为正方形，则，平面，可得平面，又因为，可知为平行四边形，则，可知为直三棱柱，底面，所以该几何体的体积为，故A正确；对于选项B：当时，即，可知，所以该几何体不为台体，故B错误；对于选项C：当时，即，则，所以该几何体为台体，如图所示，为相应边的中点，则为正方形，因为底面，且，可知所求球的半径，且正方形的内切球的半径即为，所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确；对于选项D：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，则点到直线距离为，可知在0,1内单调递增，所以当点到直线距离最大时，则，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（3）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（4）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 平行四边形中，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则_.【答案】#【解析】【分析】先由题意得，再结合计算以及即可得解.由题意可得，所以，又，所以，所以.故答案为：.13. 已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决.由可知，函数对称轴为，当时，在上单调递增，所以要使恒成立，即，即，解得；当时，在上单调递增，所以，则，解得；综上所述，的取值范围是.故答案为：14. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为_；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为_.【答案】 . . 【解析】【分析】填空(1)：先确定后两队共发2次球就结束比赛，包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率；填空(2)：先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率.后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以即后两队共发2次球就结束比赛的概率为时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”，“时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以，所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为.故答案为：，.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知识可知，DABABM，由