广东省广州市第四中学20242025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）ABCD2如图，空间四边形中，点M在上，且，点N为中点，则等于（）ABCD3在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD4若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点（）ABCD5已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（）ABCD6在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（）ABCD7已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）ABCD8直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为（）A4B8CD二、多选题（本大题共3小题）9某社团开展“建党100周年主题活动学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则（）A两人均获得满分的概率B两人至少一人获得满分的概率C两人恰好只有甲获得满分的概率D两人至多一人获得满分的概率10已知函数，则（）A的一个对称中心为B的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象C在区间上单调递增D若在区间上与有且只有6个交点，则11如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为、的中点，G是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为B点G到平面AEF的距离为C四面体AEFG的体积为D若线段的中点为H，则GH一定平行于平面AEF三、填空题（本大题共3小题）12已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 13若直线与直线平行，则直线与的距离为 .14已知点P在直线上，点，则的最小值为 ，此时点P坐标为 四、解答题（本大题共5小题）15某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；(2)若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.16如图所示，平行六面体中，记，(1)用向量，表示向量，并求；(2)求17如图，在三棱柱中，底面，点，分别为与的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值.18已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.19如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且平面平面，在平面内过作，交于，连.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.参考答案1【答案】A【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果.【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种，若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5；若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法；所以所求概率为.故选：A.2【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】.故选B.3【答案】B【分析】连接，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.【详解】在正方体中，连接，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即为异面直线与所成角，不妨设，则，取的中点，因为，所以，在直角中，可得.故选：B.4【答案】B【详解】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，又由点在直线上，即，整理得，令，即时，可得直线过定点，故选B.5【答案】C【详解】如果事件与互斥，则，所以.如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，所以，即.故选：C.6【答案】D【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，则，故在的投影为，点到线的距离为.故选：D.7【答案】A【详解】由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选：A.8【答案】A【详解】直线，当，得，即点，直线，当，得，即点，且两条直线满足，所以，即，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A9【答案】ACD【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即可.【详解】设“甲获得满分”，“乙获得满分”，则,对于A，“两人均获得满分”可表示为,因为两人能否获得满分相互独立，故，即A正确；对于B，因为“两人至少一人获得满分”的对立事件为“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误；对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确；对于D，因为“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确.故选ACD.10【答案】BD【详解】对于A，由，故A错误；对于B，的图象向右平移个单位长度后得，为奇函数，故B正确；对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误；对于D，由，得，解得或，在区间上与有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为，第7个交点的横坐标为，故D正确.故选BD.11【答案】BD【详解】如图，以为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，设平面AEF的法向量n=x,y,z，则，可得，对于选项A：设直线AG与平面AEF所成角为，可得，所以直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为，故A错误；对于选项B：点G到平面AEF的距离为，故B正确；对于选项C：由题意知，所以四面体AEFG的体积为，故C错误；对于选项D：由题意可知：，则，可得，可知，且平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正确；故选：BD12【答案】【详解】根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为,所以直线l的方程为,即得.故答案为：.13【答案】/【详解】由于与平行，则，即，解得或，当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意；综上所述：，两直线方程分别为，所以直线与的距离为.故答案为：.14【答案】 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则，解得，则，于是，结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时，而，直线为，由，得点，因此取得最小值时点坐标为.故答案为：；15【答案】(1)，中位数是分(2)【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.（2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.【详解】（1）依题意，解得.前三组的频率为，所以中位数为分.（2）的频率为，的频率为，两者的比例是，所以抽取的名学生中，中的有人，记为；在中的有人，记为；从中抽取人，基本事件有，共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：，共种，故所求概率为.16【答案】(1)，(2)【详解】（1），则，所以（2）由空间向量的运算法则，可得，因为，且，所以，则17【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）连结，因为点是的中点，则，则点是的中点，且是的中点，所以，且平面，平面，所以平面；（2）如图，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，令，则，则平面的法向量，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以.二面角的平面角的正切值为18【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B；（2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得，因为为三角形内角，B0,，所以.（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，因为，所以由正弦定理可得故，所以，因为为锐角三角形，则，即的周长的取值范围为.19【答案】(1)证明见解析(2).(3).【详解】（1）因为，因为，所以四边形为矩形，在中，则，且平面平面，平面平面平面，平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，可得，则，C-1,3,0，设平面的法向量为，由，取.设平面的法向量为，由，取，.二面角是钝角，二面角的正弦值为.（3）设，则，又平面的法向量为，直线与平面所成的角的正弦值为，解得，.