上海市浦东区20242025学年高二上学期期中联考数学试题一、填空题（本大题共12小题）1用符号表示“平面与相交于直线” 2在正方体中，与直线异面的直线是 （写出一个即可）.3空间中，斜线与平面所成角的取值范围为 （用弧度制表示）4命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）5现行国际比赛标准排球的直径约为，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则排球的表面积大约为 6如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形面积为 7某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 8如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、中，直线与直线所成角为 9一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 10三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，则三棱锥的体积是 11空间中存在三条不同的直线，直线与直线所成角为，直线与直线所成角为，直线与直线所成角的取值范围为 （用弧度制表示）.12我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体.则其体积约为 （精确到0.1）（参考数据：，）二、单选题（本大题共4小题）13设、是平面外的两条直线，且，那么是的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要14下列命题正确的是（ ）A过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直B过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行C过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直D过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行15若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（ ）ABCD平面16如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（ ）ABCD三、解答题（本大题共5小题）17如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线已知，圆柱的体积为求异面直线与所成角的大小18如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，分别是的中点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离19如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点(1)求证：直线与直线垂直；(2)求直线与平面所成的角的大小20如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面(1)求证：为线段中点；(2)求二面角的正切值；(3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由21设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）(1)若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离；(2)若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值参考答案1【答案】【详解】“平面与相交于直线”的符号表示，故答案为：.2【答案】（或或或，答案不唯一）【详解】如图，由异面直线的定义知，直线异面的直线是等，故答案为：（或或或，答案不唯一）.3【答案】【详解】根据斜线与平面所成角的定义可知，空间中，斜线与平面所成角的范围是.故答案为：.4【答案】假命题【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为， 由题意得，且设，过点作，故，由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直，所以直线与直线重合，故.故答案为：假命题.5【答案】【详解】由题意知，排球半径，则表面积.故答案为：.6【答案】【详解】依题意，矩形的面积，由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积.故答案为：7【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，由题有，解得.故答案为：.8【答案】/60【详解】将正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，连接，易知，则或其补角为直线与直线所成的角，在中，易知，所以，故答案为：.9【答案】【详解】设圆柱的底面半径为，则母线长为，外接球的半径为，由题有，则，解得，所以圆柱的底面面积为，故答案为：.10【答案】【详解】如图，两两垂直，又面，则面，则三棱锥的体积,又三个侧面三角形的面积分别为，不妨设，则，得到,所以，故答案为：.11【答案】【详解】过三条直线外任一点分别作的平行线，则直线与直线所成角即所成角为，直线与直线所成角即所成角为，直线与直线所成角即即所成角.如图，根据题意构造两个圆锥，由题意知，其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上.由题意，由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小，最小值为.当移动到，移动到时，可得与所所成角的最大，最大值为，当与所在直线重合，直线绕点在小圆锥表面从连续运动至，直线与所成角连续变化且越来越大，从增至.所以与所成角的取值范围为.故答案为：.12【答案】【详解】由题意可得：，所以几何体的体积.故答案为：.13【答案】A【详解】证明充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件；证明必要性：若，结合，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件故是的“充分非必要”故选：A14【答案】D【详解】对于A选项，过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直，且这无数条直线均相交于这个点（即与它垂直的平面内的任意一条过该点的直线），A错；对于B选项，过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线均相交于这个点（即与它平行的平面内的任意一条过该点的直线），B错；对于C选项，过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，若将过该直线的平面绕这条直线旋转，则可以得到无数个平面与已知平面垂直，C错；对于D选项，由B选项可知，过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线均相交于这个点，并且这无数条直线共面，故过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，D对.故选：D.15【答案】A【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，又面，所以，故选项C正确，又，面，所以平面，又面，所以，故选项B和D正确，对于选项A，若，又，面，则面，又面，所以，与相矛盾故选：A.16【答案】C【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形，则，所以为二面角的平面角，又，则，所以，所以二面角的大小为.故选：C.17【答案】【详解】由题意知，则异面直线与所成角即为，又， 在中，又，则异面直线与所成角的大小为18【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，连接，在中，为的中位线，.又在正方形中，且，且又是的中点，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面平面.（2）连接.由题意，在四棱锥中，平面，为三棱锥的高.又平面，则.设点到平面的距离为，则有，则，（）由题意，则，由为的中点，则，所以，所以，且，代入（）化简可得，解得，点A到平面的距离为.19【答案】(1)证明见解析(2)（或或）【详解】（1）取的中点，联结，因为，分别是、的中点，所以，又因为直棱柱中，可得，又，面，所以平面，又平面，所以.（2）平面，平面可得，又，即，又，面，平面为直线与平面所成角，且，所以，假设，则，所以，得到，所以，所以直线与平面所成角为（或或）.20【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，且【详解】（1）证明：因为平面平面平面平面，平面平面，可得，又因为，则四边形为平行四边形，则，因为为的中点，则，所以，故点为的中点.（2）解：因为，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，所以，.由图可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角的正切值为.（3）解：易知、，设，其中，则，设平面的法向量为，则，取，则，因为平面平面，则，则，解得，所以，当点为的中点时，平面平面，故.21【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用外接球的球心为正方体的中心，可得，即可求出结果；（2）根据条件得到，令，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解.【详解】（1）设外接球的半径为，因为正四棱柱是棱长为的正方体，易知外接球的球心为正方体的中心，所以，而，得到（2），令，由，得到，在上递增，在递减时，体积取得最大值