拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录01 方法技巧与总结202 题型归纳与总结2题型一：柯西不等式之直接套公式型2题型二：柯西不等式之根式下有正负型4题型三：柯西不等式之高次定求低次型5题型四：柯西不等式之低次定求高次型7题型五：柯西不等式之整式与分式型8题型六：柯西不等式之多变量型9题型七：柯西不等式之三角函数型11题型八：Aczel不等式12题型九：权方和不等式之整式与分式综合型13题型十：权方和不等式之三角函数型14题型十一：权方和不等式之杂合型1503 过关测试161、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）2、Aczel不等式（反柯西不等式）设；均为实数，或，则有当且仅当，成比例时取等3、权方和不等式（1）二维形式的权方和不等式对于任意的，都有当且仅当时，等号成立（2）一般形式的权方和不等式若，则，当时等号成立题型一：柯西不等式之直接套公式型 【例1】已知且则的最小值是（）A1BCD2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：，即所以，当且仅当即时取等号，故的最小值为，故选：B【变式1-1】若，则的最小值为（）A25B8CD【答案】C【解析】由柯西不等式，得，当且时，即，且与异号时，则的最小值为.选：C.【变式1-2】已知a，b，满足，则的最大值为（）A2B3C4D6【答案】B【解析】设，可得，所以因为，所以，当且仅当，取得最大值6，此时，所以的最大值为故选：B.题型二：柯西不等式之根式下有正负型 【例2】（2024高三山东青岛期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（）ABC12D20【答案】A【解析】由，解得，所以函数的定义域为，由柯西不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故选：A.【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,由得到,当且仅当时取等号.现已知,则的最大值为（）ABCD【答案】D【解析】因为,令,又,所以,当且仅当即时等号成立,即,故选:D.【变式2-2】（2024浙江模拟预测）已知，且，则的最大值为（）ABCD【答案】C【解析】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，当即时，取等号.所以的最大值为.故选：C.题型三：柯西不等式之高次定求低次型 【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】解法一 根据题意，有，其中，令，解得，于是，等号当时取得，因此所求最大值为解法二 令，其中，则，等号当时取得，因此所求最大值为解法三 根据题意，有，等号当，且即时取得，因此所求最大值为故选：A.【变式3-1】（2024全国模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A14B12C10D8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得，所以的最大值为，当且仅当时取等号.故选：A【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（）ABCD【答案】D【解析】设，则条件为，所以，等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为故选：D题型四：柯西不等式之低次定求高次型 【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）A1B2C3D以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有，而，当且仅从时等号成立.同理，当且仅当式等号成立，记题中代数式为M，于是，等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2故选：B.【变式4-1】已知空间向量，且，则的最小值为（）ABC2D4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立.所以，所以的最小值为.故选：B【变式4-2】已知，为实数，且，则的最小值为（）AB1C2D【答案】C【解析】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等,所以所以，当且仅当时取等,所以的最小值为：2故选：C题型五：柯西不等式之整式与分式型 【例5】（2024高三浙江台州期末）已知正实数满足，则的最小值为 【答案】/0.5【解析】由柯西不等式而，所以时等号成立，故答案为：.【变式5-1】已知、，且满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为、，且满足，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式5-2】已知，且，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】因为且，因为 所以，当且仅当时，的最小值为.故选：D.题型六：柯西不等式之多变量型 【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（）ABCD前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有，等号当时取得，因此所求最小值为故选：D.【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（）ABCD以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有，从而，因此e的取值范围是故选：D.【变式6-2】已知，且，则的最小值是（）ABC417D以上答案都不对【答案】A【解析】由可得，由对称性可设，则条件即即，从而，根据柯西不等式，等号当时取得因此所求最小值为故选：A.题型七：柯西不等式之三角函数型 【例7】函数的最大值为（）ABCD前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为，等号当时可以取得，因此所求最大值为故选：D.【变式7-1】（2024浙江一模）若，则的最小值是（）A0BCD【答案】C【解析】由已知整理得，由柯西不等式得，当时取等号，所以，即，解得，所以的最小值为.故选：C【变式7-2】函数的最大值为（）AB5C4D【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.当且仅当，即时，函数有最大值.故选：A.题型八：Aczel不等式【例8】的最小值为 【答案】【解析】当且仅当即时取等号，故的最小值为【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了数学探究与发现选修课在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”根据前面的结论可知：当时，的最小值是 【答案】【解析】由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立，即，则，所以，最小值为，此时故答案为：.题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 【例9】已知正数，满足，则的最小值为 【答案】【解析】因为正数，满足，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：.【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为（）A16B25C36D49【答案】B【解析】因a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .【答案】2【解析】由权方和不等式，可知=，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.题型十：权方和不等式之三角函数型 【例10】已知正实数、且满足，求的最小值 .【答案】【解析】设，由权方和不等式，可知，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：【变式10-1】已知为锐角，则的最小值为 .【答案】【解析】当且仅当即，时取“”.故答案为：【变式10-2】（2024四川模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（）ABCD【答案】C【解析】由题意得，则，当且仅当，即时等号成立，所以故选：C题型十一：权方和不等式之杂合型 【例11】已知，则的最小值是 【答案】【解析】由题意得，（权方和的一般形式为：,当且仅当时等号成立）当，即时，取得最小值故答案为：【变式11-1】已知，求的最小值为 【答案】【解析】当且仅当时取等号故答案为：60【变式11-2】求的最大值为 【答案】【解析】当且仅当，即或时取等号故答案为：.1（2024吉林白山一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，满足，当且仅当时，等号成立则函数的最小值为（）A16B25C36D49【答案】D【解析】因为，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49故选：D2已知a，b，c均大于1，则的最小值为（）A243B27C81D9【答案】B【解析】由得，所以，当且仅当时取等，所以，所以，即的最小值为27，故选：B3（2024福建模拟预测）设、，则的最小值是（）ABCD【答案】B【