山东省聊城市第二中学20242025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（）ABCD2已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A1BCD3已知，若共面，则实数的值为（）ABCD4已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（）ABC2D5如图，在四面体OABC中，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（）ABCD6已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（）ABCD17如图，已知二面角的大小为，且，则（）ABCD8如图，在直三棱柱中，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（）A )B C)D二、多选题（本大题共3小题）9下列命题是真命题的有（ ）AA，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lD平面经过三点是平面的法向量，则10在空间直角坐标系Oxyz中，则（）ABC异面直线OB与AC所成角的余弦值为D点O到直线BC的距离是11如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A存在点P，使B存在点P，使C四面体的体积为定值D二面角的余弦值的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12已知，则在方向上的投影向量为 .13点O为所在平面外一点，点G为所在平面内一点，点M为BC的中点，若成立，则实数的值为 14如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .四、解答题（本大题共5小题）15已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.16如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，F为CD的中点，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出B，D，P，F四点的坐标；(2)求.17已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中是的中点，是的中点.(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；18如图，在中，将绕旋转得到，分别为线段的中点(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.19如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.请用空间向量的知识解答下列问题：(1)求与平面所成角的大小；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.参考答案1【答案】A【详解】根据空间直角坐标系中点的对称的性质，关于平面yOz对称的点的坐标为，故选：A2【答案】D【详解】向量，则，由与互相垂直，得，所以.故选：D3【答案】B【详解】若共面，则，即，所以，解得：.故选：B4【答案】C【详解】因为，故与垂直，故，解得.故选：C5【答案】B【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，.故选：B6【答案】B【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可.【详解】因为，点在平面内，点平面外，所以点到平面的距离，故选：B7【答案】A【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为，又因为，所以，所以，即故选：A8【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点坐标为，故，因为，故可得，则，由可得，又，故,故当时，取得最小值；又当时，但无法取到，则无法取到；综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A9【答案】BD【详解】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即 A，B，M，N不共面，A项错误；对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确； 对于C选项，要使l,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误；对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面的法向量，故解得：则有：，故D项正确.故选：BD.10【答案】AC【详解】对于A，依题意，故A正确；对于B，故B错误；对于C，,因为，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，因为，在上的投影为，所以点O到直线BC的距离是，故D错误.故选：AC.11【答案】AB【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，则，则，当时，即点与点重合时，故A正确；由知，解得，此时点与点重合，故B正确；为定值，故C错误；又因为，设平面的法向量，由，令则，又因为平面的法向量，又因为，故D错误.故选AB.12【答案】【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：13【答案】43/113【详解】，因为共平面，则，解得.故答案为：.14【答案】【详解】连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面，以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则，则，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则.故答案为：.15【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以， 所以；（2）因为，则，所以，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为.16【答案】(1)(2)【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点，所以，又，；（2）.17【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，利用线面平行判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得.【详解】（1）取中点，连接，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则有，四边形是平行四边形，于是，又平面平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，则直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，有，则有，设平面与平面的法向量分别为，则有，令，得，令，得，因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.18【答案】(1)(2)【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为因为，点为的中点，所以又，所以平面因为平面，所以又，所以平面，即点到平面的距离为的长度易证平面，所以因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以，所以（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以设平面的法向量为，可得即令，得取的中点，连接，在等腰中，易证平面，所以为平面的一个法向量设平面与平面的夹角为，则，19【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案；(2)证明出，求出平面的法向量，设，则，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案.【详解】(1)因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，又平面平面，两平面交线为，平面，所以平面，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，因为平面，所以，故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，由勾股定理得，所以，平面的法向量为，设与平面所成角的大小为，则，因为，所以；(2)设平面的法向量为，则，令得，则，连接，因为平面，平面平面，所以，不妨设，则，设，则，即，故，设，则，即，故，设平面的法向量为，则，解得，设，则，故，故，化简得，两边平方得，化简得，解得或，设，则，设，则，解得，故，当时，因为，所以，解得，解得，满足要求，当时，因为，所以，解得，解得，满足要求，故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或.