20242025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则（）ABCD2复数的虚部为（）A1BCD3若向量，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD4已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（）ABCD5等比数列的各项均为正数，若，则（）A588B448C896D5486在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（）A1BC2D7已知，则（）ABCD8已知定义在上的函数满足，且，则（）ABC是增函数D是减函数二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数，则（）A的图象关于点对称B的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C在区间单调递减D当时，的值域为10已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（）A直线与直线的夹角为B直线与平面所成角的正弦值为C点到平面的距离为D三棱锥的外接球的半径为11如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）A有对称轴B的弦长的最大值为C直线被截得弦长的最大值为D的面积大于三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知随机变量服从二项分布，若，则 .13在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为 .14已知双曲线C:x2a2y2b2=1a0,b0的离心率为，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 .四解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5(1)求关于的经验回归方程；(2)已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：16已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.(1)求的方程；(2)设直线与交于两点，点，求.17已知数列满足为常数.(1)若，求；(2)若的各项均为正数，证明：.18在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)点分别在边上，且平分平分，.求证：；求.19设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.(1)求证：函数具有性质；(2)已知函数具有性质，给定实数，其中.证明：；(3)对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.1B【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可；【详解】，解得，所以，所以，故选：B.2A【分析】化简求解即可.【详解】，虚部为1，故选：A.3A【分析】直接利用投影向量的公式求解即可.【详解】在上的投影向量，故选：A.4C【分析】根据圆锥的特征先计算其高与底面圆半径，再利用相似的性质计算内切球半径，计算其表面积即可.【详解】设该圆锥底面圆半径为r，高为h，根据题意有，设其内切球半径，所以内切球的表面积，故选：C.5B【分析】由已知等式结合等比数列下标的性质解出，再利用下标的性质求解即可；【详解】由，可得，因为等比数列的各项均为正数，则（舍）或2，故选：B.6D【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解.【详解】圆心到直线的距离，又，所以，即.故选：D.7D【分析】先用降幂公式，再用和差化积公式即可.【详解】.故选：D.8B【分析】先将等式两边同时除以，得到，利用赋值法判断AB，举反例为判断CD，从而得解.【详解】对于A，则，令，则，故错误；故，则，对于B，令，则，则，同理可得，令，则，故正确；对于CD，令，显然满足在，得，令得，显然当时，此时单调递减，故C错误；此时，显然在定义域上单调递增，故D错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题CD选项的判断关键在于，根据的性质举反例，从而得解.9AC【分析】对于A：直接代入可得，即可判断对称中心；对于B：根据三角函数图像变换分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数值域分析判断.【详解】对于选项A：因为，所以关于对称，故A正确；对于选项B：向左平移个单位，可得，故B错误；对于选项C：因为，则，且在内单调递减，所以在区间单调递减，故C正确；对于选项D：因为，则，所以的值域为，故D错误.故选：AC.10ABD【分析】由三角形中位线的性质可得与的夹角为与的夹角即再由为正三角形可得A正确；建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量，代入线面角公式求解可得B正确；求出平面的法向量，代入空间点面距离公式可得C错误；画出图形，找到球心，由勾股定理列方程组可得D正确；【详解】对于A，由点分别是棱的中点，所以，所以与的夹角为与的夹角即为正三角形，故A正确；对于B，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成的角为，则，与平面所成角的正弦值为，故B正确；对于C，设平面的法向量不放设，则设点到平面的距离为，则，故C错误；对于D，的外接圆是以为直径的圆，设圆心为则，易得，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，故D正确；故选：ABD.11ACD【分析】利用反函数概念可判断；联立方程，求出交点即可判断；找出过与曲线相切且与平行的点即可；由，计算即可判断.【详解】由，的反函数为，两者关于对称，故A正确.，令hx在上单调递减；0,+上单调递增，注意到，在和有一个零点，另一个零点为，故B错误.与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离，直线被截得弦长最大值为，故正确.，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本题中.12【分析】利用二项分布的期望公式以及期望的性质可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】因为，由二项分布的期望公式可得，由期望的性质可得，解得.故答案为：.13#0.5【分析】画出二面角，计算三角形边长，然后利用余弦定理求解即可.【详解】设，则，取中点所以,因为，所以点为中点，因为平面平面，,所以所以平面,所以，又因为所以二面角的平面角为所以.故答案为：12144【分析】根据曲线方程确定曲线的对称轴，结合双曲线性质确定实轴所在直线，进而求顶点坐标，最后求出双曲线参数，即可得答案.【详解】设Px,y在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为，而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线，联立，则实轴端点为，而双曲线离心率为，的虚轴长为4.故答案为：415(1)(2)【分析】直接利用公式求解即可.【详解】（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16(1)(2)【分析】（1）由离心率的定义、椭圆的性质结合题意求出即可；（2）联立直曲方程，解出坐标，再由向量的数量积求出即可；【详解】（1）由题意，所以方程为：.（2）联立，解得或，所以，所以.17(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题中递推关系求出公差，再由基本量法求出，然后由裂项相消法求和即可；（2）由递推关系求出，再通过通分和平方差的运算即可证明；【详解】（1），.（2），要使，即，即，整理得显然成立，.18(1)(2)证明见解析；【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式和特殊角的正弦值求出即可；（2）在和中分别使用正弦定理，再结合角平分线的性质可得；由正弦定理和比例的性质可得和，再结合题中边长等式由两角差的余弦公式和同角的三角函数关系和特殊角的三角函数关系化简，最终得到结果；【详解】（1）由正弦定理可得，.（2）（1）证明：在和中分别使用正弦定理（2）设，同理，19(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题中条件计算并判断即可；（2）易知单调递增，然后利用单调性，去绝对值符号求解即可；（3）先写出点对应的函数，然后求导，利用两点具有相同的“点”，建立等式，化简得到，由题易知，得到恒成立，即恒成立，然后求解即可.【详解】（1），取，则具有性质.（2）具有性质函数x使得时对恒成立，在R上单调递增，当且，且另一方面，同理，；（3）设，对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点，设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，-，具有性质恒成立，故恒成立，综上：的取值范围为1,+.【点睛】关键点点睛：需要先理解题中新概念的意思，然后再和已学知识结合处理.