四川省安宁河高中振兴联盟20242025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1在空间直角坐标系中，已知向量若则（ ）ABCD2近日，2024中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，则下列说法错误的是（）A该组数据的第70百分位数为7.5B该组数据的极差为6C该组数据的众数为7D该组数据的平均数为7.23若直线与直线相互平行，则的值为（ ）ABCD4事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，则事件与事件的关系为（ ）A互斥B对立C独立D包含5如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，则（ ）ABCD6在长方体中，则异面直线与的距离是（ ）ABCD7坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名高二年级学生中男生有600人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为14.5cm和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5cm和17.64.则总体方差（ ）ABCD8已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9下列说法正确的是（ ）A若，则与是对立事件B扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为C甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为410如图，平行六面体中，则下列说法中正确的是（ ）AB异面直线与所成角的正弦值为C平面D直线与平面所成角的正切值为11在空间直角坐标系中，过点，且以为方向向量的空间直线的方程为：；过点，以为法向量的平面的方程为：，则下列说法正确的是（）A已知平面，直线，则B已知平面，直线，则到的距离为C已知平面，直线，则与所成角的正弦值为D已知平面，直线（为任意实数），当且时，三、填空题（本大题共3小题）12若直线经过，则直线的斜率为 .13盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 .14在三棱锥中，平面平面， ，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .四、解答题（本大题共5小题）15在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.(1)求比赛只需打三局的概率；(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.16已知直线过两点.(1)求直线的一个单位方向向量的坐标及直线的方程；(2)若过点的直线满足，设直线与轴的正半轴的交点为点，求的面积.17会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，）.(1)根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表)(2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：方案：所有石榴以元/千克收购；方案：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？18如图（1），在平行四边形中，把ABD沿向上折起得到一个三棱锥如图（2），且平面平面.(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.19如图，在三棱锥 中，是线段上的点.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角为，求的长；(3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值参考答案1【答案】D【详解】由可得，即，解之可得.故选：D2【答案】D【详解】对于A，因为这组数据为4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，共10个数，又，所以该组数据的第70百分位数为，故A正确；对于B，该组数据的极差为，故B正确；对于C，易知该组数据的众数为7，故C正确；对于D，该组数据的平均数为，故D错误.故选：D.3【答案】C【详解】因为直线与直线相互平行，所以，即，解得或.故选：C.4【答案】C【详解】由对立事件的概率公式可得，因为，即，可得，所以，因此，事件与事件独立.故选：C.5【答案】A【详解】因为是靠近的三等分点，则，所以，所以，则，因为为的中点，则，因为为的中点，则，因此，.故选：A.6【答案】A【详解】如图，以为原点，分别以，为，轴的正向建立空间直角坐标系，则A2,0,0， 设直线与的公垂线的方向向量为，则，取，则，又，异面直线与的距离是.故选：A.7【答案】C【详解】按照分层随机抽样，设在男生女生中分别抽取m名和n名，则，解得，由题意，男生样本的平均数为，样本方差为，女生样本的平均数为，样本方差为，记抽取的总样本的平均数为，总样本的样本方差为，可得，所以.故选：C.8【答案】C【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以，直线的方程可整理为，令，解得，所以，又对于直线与直线，因为，所以，所以两直线的交点为以为直径的圆上的点，而，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选：C.9【答案】CD【详解】A选项：事件与事件满足：且，故A选项错误；B选项：由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误；C选项：分层抽样也叫按比例抽样，样本比例与总数比例相同，即，C选项正确；D选项：因为，即，所以当时，D选项正确.故选：CD.10【答案】ACD【详解】对于A,首先，.展开.已知，.可得，.则，所以，A正确.对于B,因为，所以异面直线与所成角等于或其补角.由，.，所以.又，.可得，则，B错误.对于C,因为平行六面体，所以，.则.因为且，即垂直于平面内相交直线和，所以平面.C正确.对于D, ，,则由对称性知道在平面的投影一定在上，则即为直线与平面所成角.由于.两边平方则.则.又.则所以，则.且得.又.则.则.D选项正确.故选：ACD.11【答案】ACD【详解】A选项：平面，即，则平面的法向量，直线，即，直线的方向向量，则，即，A正确；B：平面过点，法向量，直线过点，方向向量，则，即，则平面，又，则直线到平面的距离，B错误；C：平面的法向量，直线，即，方向向量，则，所以与所成角的正弦值为，C正确；D：平面的法向量，直线，过点，方向向量，则，又当且时，点不在平面上，所以，D正确；故选：ACD.12【答案】43/113【详解】因为直线经过，所以直线的斜率为.故答案为：.13【答案】【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3，观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组，再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为.故答案为：14【答案】【详解】因为平面平面，,且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在中，因为， ， ，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系.点为的中点，是上的一个动点，设的重心为，则，三棱锥外接球的球心为，则，则有，即则，当且仅当，即时，等号成立.设三棱锥外接球半径为，表面积为，则所以.故答案为：.15【答案】(1)(2)【详解】（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，则，比赛只需打三局的概率为：.（2）甲需要打三局的概率为：，甲需要打四局的概率为：，甲需要打五局的概率为：，则甲最终获胜的概率为：.16【答案】(1)（也可），(2)【详解】（1）因为直线过两点，所以直线的斜率，所以是直线的一个方向向量，则，则取即为直线的一个单位方向向量，（也可），又因为直线的斜率，则直线的方程为，即.（2）因为，所以直线的斜率，则直线的方程为，即，在方程中，令得，即，所以，由（1）知，所以.17【答案】(1)，平均重量为克，第百分位数为克(2)选择方案获利多【详解】（1）表由题知，解得；平均重量：由频率分布直方图可知：前组的频率之和为，前组的频率之和为，则第百分位数一定位于内，设第百分位数为，则，解得；（2）方案收入：（元），方案收入：低于克的石榴收入为（元），不低于克的石榴收入为（元），故方案的收入（元）；由于，所以选择方案获利多18【答案】(1)(2)【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以，再由，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.因此B点到的距离即为所求，因为 所以由等面积法，有 所以（2）由所在的直线分别为x，y轴，以过点且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，则.则， 设平面的一个法向量为，由，令，则，