辽宁省辽南协作体名校联盟20242025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（）ABCD2已知向量，则下列向量中与成的是ABCD3已知直线与，若，则的值是（）A3B5C3或5D1或24直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于A30B45C60D905过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（）ABCD6若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（）ABC5D7已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（）ABCD8在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，分别取的中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（）A的最小值为1B满足的弦有且只有2条C当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0D当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为10如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（）A与的距离为B当点为的中点时，C当点在的中点时，点到平面的距离为D点到直线的距离的最小值为11已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（）AB的直线方程是C直线的斜率为D的周长是8三、填空题（本大题共3小题）12已知平行直线，则.与的距离是 .13如图，二面角的大小是45，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .14已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 .四、解答题（本大题共5小题）15己知三点、.(1)求过、三点的圆的一般方程；(2)过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程.16在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，为上一点，且平面.(1)求证：为中点：(2)求直线与平面成角的正弦值.17已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点.(1)若，求双曲线的方程：(2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率.18在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）.(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由；(3)在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离.19设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足.(1)求动点的轨迹方程：(2)设分别为轨迹上的两个动点，且.（i）求证：为定值；（ii）求面积的取值范围.参考答案1【答案】A【详解】由题设，则的倾斜角为.故选：A2【答案】B【详解】试题分析：对于A选项中的向量，则；对于B选项中的向量，则；对于C选项中的向量，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.3【答案】A【详解】由题意得，解得或5，当时，两直线平行；当时，两直线重合，故舍去；综上，若，则的值是3.故选：A.4【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EC1B为，故选C5【答案】A【详解】由可得，可得，所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，当且仅当时，等号成立，此时，原点到直线的距离为，由图可知，直线的斜率存在，且，则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，因为，解得，因此，直线的方程为，即.故选：A.6【答案】B【详解】如图所示，由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心，在中，由已知条件知，所以，由于，则.故选：B.7【答案】D【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即，所以，焦点到渐近线的距离为，设，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，即，所以，.故选：D.8【答案】B【详解】作的中点，连接，因为，所以或其补角为异面直线所成的角，由已知得，则，所以，所以，又，所以为等腰三角形，所以，因为，所以，在中，由余弦定理可知.故选：B.9【答案】BCD【详解】由圆，则圆心，半径为，由于，所以点在圆内部.当时，故A错误，此时圆上的点到直线的距离最小为0，圆上的点到直线的距离最大为，故CD正确；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，则.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，所以，当时，即，整理得，由于，则方程有两个不相等的实数根，则满足的弦有且只有2条，故B正确.故选：BCD.10【答案】BC【详解】对于A选项，连接，因为平面，平面，则，同理可得，所以，与的距离为，A错；以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，对于B选项，当点为线段的中点时，此时，B对；对于C选项，当点在的中点时，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，可得y=-1，所以为平面的一个法向量，此时，点到平面的距离为，C对；对于D选项，设，其中，所以，点到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为，D错.故选：BC.11【答案】ACD【详解】由于，故A正确，由于，故为等边三角形，故,因此，F11,0,因此直线的直线方程为，即，B错误,则，故,故，故C正确，对于D, 为等边三角形，且,故是的垂直平分线，故，故D正确，故选：ACD12【答案】/【详解】因为，则，解得，此时，即，所以.与的距离是.故答案为：.13【答案】【详解】如图过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为又由已知， 连接CB，则为AB与平面所成的角，设，则.， 故答案为：.14【答案】【详解】根据离心率为，故，设Ax1,y1,Bx2,y2,则，故,故，故，故的方程为，令，故直线与轴的交点为34,0，故,当且仅当三点共线时取等号，当且仅当三点共线时取等号，故，为定值，当且仅当是和的交点，等号取到，故,故答案为：34,015【答案】(1)(2)或【详解】（1）解：设过、三点的圆的一般方程为，则有，解得，因此，过、三点的圆的一般方程为.（2）解：由（1）可知，外接圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.16【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形为菱形，则为的中点，因为平面，平面，平面平面，所以，故为的中点.（2）取的中点，连接、，因为是等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为四边形为菱形，则，又因为，则为等边三角形，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设，则A1,0,0、，所以，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，可得，所以，因此，直线与平面所成角的正弦值为.17【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由双曲线的定义可得，所以，因为AB=4，则，由可知，则，所以，双曲线的方程为.（2）解：因为直线的斜率为，则，设，由可得， 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由整理可得，代入式可得，所以，因此，双曲线的离心率为.18【答案】(1)证明见见解析；(2)点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点；(3)【详解】（1）因为平面平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）过点作，则平面，以点为原点，的正方向分别为，轴的正方向建立平面直角坐标系，由，得，设，则，解得，设平面的法向量为，且，由，取，设平面的法向量为，且，由取，设二面角的平面角为，则，解得或.则点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点.（3）因为二面角的平面角为锐角，结合图形特征，取离较远的一点，即，此时，连接，所以，设点到直线的距离为，则.19【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）设，则，即，又，则，所以，所以，即.所以动点的轨迹方程为.（2）（i）当斜率都存在且不为0时，因为，设直线，直线，由，得，同理得，故；当斜率一个为0，一个不存在时，得；综上可得为定值.（ii）当斜率都存在且不为0时，由（i）知，又，当且仅当时取等，所以，当斜率一个为0，一个不存在时，所以面积的取值范围为.