绝密考试结束前2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：严州中学新安江校区 刘景红审核：嵊州中学 俞海东 桐庐中学 王燕萍校稿：蒋青松考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟：2.答题前，在答题卷密封区内填写班级学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I卷一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线的倾斜角是（）ABCD2有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（）A12B11C10D93若复数满足，则复数（）ABCD4已知平面向量为单位向量，若，则（）A0B1CD35“”是“直线与圆相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（）ABCD7设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（）ABCD8已知直线与动圆，下列说法正确的是（）A直线过定点B当时，若直线与圆相切，则C若直线与圆相交截得弦长为定值，则D当时，直线截圆的最短弦长为二多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9若复数，则下列说法正确的是（）A的虚部是B的共轭复数是C的模是D在复平面内对应的点在第二象限10如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（）A存在使得B任意，使得C存在，使得共面D任意，使得共面11已知曲线的方程，则以下结论正确的是（）A无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称B无论实数取何值，曲线都是封闭图形C当时，曲线恰好经过6个整点（即横纵坐标均为整数的点）D当时，曲线所围成的区域的面积小于3第II卷三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是 .13已知椭圆的左右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是 .14已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为 .四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：(2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差；(3)若该学校安排甲乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.16在中，内角的对边分别为，若(1)求的大小；(2)若是线段上一点，且，求的最大值.17在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点(1)求圆的方程；(2)过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.18如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求四棱锥的体积；(3)求二面角的平面角的余弦值.19已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)当轴，求的面积；(3)若分别记的斜率分别为，求的最大值.1B【解析】略2C【解析】略3D【解析】略4B【解析】略5A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，即，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础6C【解析】略7D【解析】略8C【解析】略9BC【解析】略10ACD【解析】略11AC【解析】略12【解析】略13【解析】略14【解析】略15(1)人(2)，(3)【详解】（1）人，人，不高于50分的抽到人（2）由题意可知，解得由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人故，（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为16(1)(2)【详解】（1）由题意，根据正弦定理得，即，根据余弦定理可知.（2）由题意在边上一点，且，可得，故当且仅当时取到等号，故的最大值为，当且仅当时取到等号17(1)(2)【详解】（1）在平面直角坐标系中，圆与轴相切，设圆方程为，又圆过点，则，可得，故圆的方程为（2）显然当直线斜率为0时不合题意，设直线将直线与圆联立方程组：，整理得，整理可得，即可得，化简可得，经验证所求的直线方程为18(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取的中点是的中位线，又，四边形是平行四边形，又平面平面平面.（2）取的中点是以为斜边的等腰直角三角形，取的中点，底面是等腰梯形，是二面角的平面角连接，在中，在中，二面角的平面角（3）根据第（2）题，二面角的平面角，平面平面，如图，建系，不妨令，则设平面的法向量是，令，解得设平面的法向量是，令，解得设二面角的平面角大小为二面角的平面角的余弦值为19(1)(2)(3)【详解】（1）由题意：，可得：，故椭圆方程（2）设，当时，由在第一象限，可得，即，故求得直线方程为，联立方程，得，整理得，所以（3）方法一设，因为在椭圆上，故，由题意故将直线与椭圆联立方程，代入可得整理可得：，所以，即，即同理：将直线与椭圆联立方程，代入可得整理可得：，所以，即，即，所以故由在第一象限内，故的最大值为，当且仅当在处取到等号方法二：由方法一可知：也可以先求出由题意，故