黑龙江省龙东地区20242025学年高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）一、单选题（本大题共8小题）1抛物线的准线方程是（ ）ABCD2若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）ABCD3在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（）A2B3CD4若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）ABCD5已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（）ABCD6 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（）A5BCD27黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5-12 ，把 5-12 称为黄金分割数已知焦点在 x 轴上的椭圆 x2m y25-121 的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数 m 的值为（ ）A 252 B 51 C2D 25 8双曲线C：的左、右焦点为，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（）AB2CD3二、多选题（本大题共3小题）9已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，那么这两个圆的位置关系可能为（）A外离B外切C内含D内切10已知曲线的方程为，则（）A当时，曲线表示一个圆B当时，曲线表示椭圆C当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线D当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线11已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（）A椭圆的离心率为B的周长为12C的最小值为3D的最大值为16三、填空题（本大题共3小题）12在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是 13设、为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 .14已知分别为椭圆的左右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 .四、解答题（本大题共5小题）15已知圆经过点，且被直线平分.(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.16已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线(1)求的方程；(2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点17如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点(1)求直线到直线的距离；(2)求直线到平面的距离18已知椭圆的左右焦点分别为，短轴长为，点在上.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；(3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.19过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积Sk，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广参考答案1【答案】B【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程可知，故准线方程为：.故选：B.2【答案】B【分析】由平方关系结合已知即可求出，由此即可得解.【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，所以，则，椭圆的标准方程为.故选：B.3【答案】D【详解】在空间直角坐标系中，过作平面，垂足为，则轴，在坐标平面内，过作轴，与轴交于，由，则，由，平面，平面，则轴平面，平面，则轴，故即点到x轴的距离，则.故选：D.4【答案】C【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.故选：C.5【答案】D【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.【详解】由双曲线，可得，所以，所以双曲线的左顶点，右焦点，故A、B错误；虚轴长，故C错误；离心率，故D正确.故选D.6【答案】D【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离，所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小，根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.故选：D7【答案】A【详解】焦点在 x 轴上的椭圆 x2m y25-121，a2m，b2 5-12 ，所以 c2m5-12 ，由题意得 2c2a 5-12 ，即 c2a2 5-122 ，即 5-122 ，解得 m252 .8【答案】C【分析】设Px,y，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：设F1-c,0、，双曲线其中一条渐近线为，直线的方程为，由，得，即直线的斜率为，直线方程为，由点Px,y在双曲线上，得，联立，得，联立，得，则，即，因此，所以离心率故选C.9【答案】ABD【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含故选：ABD10【答案】ACD【详解】当时，曲线是，故A正确；当时，曲线表示一个圆，故B错误；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD.11【答案】BD【详解】椭圆，则对于A：，故A错误；对于B：的周长为，故B正确；对于C：的最小值为，故C错误；对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确故选：BD12【答案】/【详解】.当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：.13【答案】3【详解】如图，画出草图由的离心率为，且，可得，解得.因为，所以由双曲线的定义，可得.故答案为：14【答案】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可.【详解】第一空，将代入中，即，则椭圆方程为，离心率为：.第二空，如图所示，易得，则，因为(为三角形周长，为内切圆半径).又，代入得，解得.故答案为：；.15【答案】(1)(2)【详解】（1）直线恒过点.因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为，即.（2）设.因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，即，所以的轨迹方程为.16【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，此时，则曲线的方程为；（2）证明：设直线的方程为，联立，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，因为，所以，因为，所以，解得，设点为的中点，此时，所以直线的方程为，令，解得故点为定点，坐标为17【答案】(1)(2)【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，所以，即，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，所以直线到直线的距离为；（2）因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，,，设平面的一个法向量为，则，即，取，可得，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.18【答案】(1)；(2)；(3)3.【详解】（1）依题意，且，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，而，则，周长，当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，所以周长的最大值为.（3）设直线的方程为，由消去得：，显然，因此面积，令，显然函数在上单调递增，则当，即时，取得最小值，所以当时，面积取得最大值3.19【答案】答案见解析.【详解】推广结论：设A是双曲线上任意一点，过点A分别作渐近线的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数证明：设，直线AE的方程为，联立方程组，解得交点，则，点A到OE的距离，平行四边形AEOF的面积，又因为点在双曲线上，所以，即，所以，是与点A位置无关的常数