四川省广安友谊中学20232024学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1直线倾斜角是（）ABCD不存在2圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（）ABCD3已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（）A2B4CD不确定4若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则关于 的一元二次方程有实根的概率是（）ABCD5从点发出的光线， 经过直线反射， 则反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（）ABCD6“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则yx-2的最小值为（）A-23B-32C-43D237已知点，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（ ）ABCD8九章算术是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，若平面，则（）ABCD二、多选题（本大题共4小题）9如图，直线，的斜率分别为，则（）ABCD10下列说法错误的是（）A经过点，倾斜角为的直线方程为B方程表示的直线过定点C经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为D若方程表示圆，则11三棱锥中，顶点M出发的三条棱，MA， MB， MC两两垂直，且， 点H为平面ABC内的动点，同时满足，记直线MH与直线AB所成角为，的余弦值可能是（）ABC0D12设曲线C的方程为，下列选项中正确的有（）A由曲线C围成的封闭图形的周长为B曲线上任意两点的距离不超过C过点至多可以作出4条直线和曲线C相切D是曲线C上的动点，满足到直线的距离为的点有2个三、填空题（本大题共4小题）13已知向量，若，则 14已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为 15点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 .16在平面直角坐标系中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且若直线l：上存在点，使得成立，其中为原点， 则实数的取值范围为 四、解答题（本大题共6小题）17已知直线过点且与直线：垂直(1)求直线的方程；(2)直线过与的交点，且被圆C：截得的弦长为，求直线的方程18现有7名奥运会志愿者其中志愿者通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语， 从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求被选中的概率；(2)求和不全被选中的概率19如图，在正四棱柱中，已知，E、F分别为、上的点，且 (1)求证：平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离20如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；(2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？21如图， 在四棱锥中，面，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由22已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为(1)当时， 求的值；(2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值参考答案1【答案】B【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为.故选：B.2【答案】D【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径，所以所求圆的标准方程为.故选：D3【答案】A【分析】根据直线平行可得，进而根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由两直线平行可得，所以 与，故两直线间的距离为 故选：A4【答案】B【详解】由题意，是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则总的基本事件为：，共有12个，因为一元二次方程有实根，则，即，满足条件的有，共9个.所以方程有实根的概率为 .故选：B.5【答案】A【详解】设点关于直线的对称点为，直线的斜率为，的中点坐标为， 则 ，解得 ，由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，则 ，即反射光线所在直线的斜率为.故选：A6【答案】C【详解】记A2,0，则k=yx-2为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2+y-12=1,x0相切时，斜率k最小，设lAP:y=kx-2，则|-1-2k|k2+1=1，解得k=-43或k=0（舍去），即yx-2的最小值为-43.故选：C.7【答案】A【分析】求得以为直径的圆的方程为，把圆：上存在点M，使得，转化为两圆存在公共点，结合圆与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，点，可得以为直径的圆的方程为，则圆心，半径，又由圆：，可得圆心，半径，两圆的圆心距为，要使得圆：上存在点M，使得，即两圆存在公共点，则满足，即，解得,所以实数t的取值范围是.故选：A.8【答案】C【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，令，解得：，；，又平面，解得：.故选：C.9【答案】ABD【详解】设直线，的倾斜角分别为，由图象可知，易知，当时，又在时，且上单调递增，所以，即.故选：ABD10【答案】AC【详解】对于A，当时，不存在，此时直线方程为，故A错误；对于B，将代入直线方程，则方程恒成立，故B正确；对于C，当截距为零时，直线方程为，故C错误；对于D，由，则，即，解得，故D正确.故选：AC.11【答案】ACD【详解】因为MA， MB， MC两两垂直，且，所以由勾股定理可知，所以三棱锥为正三棱锥，记M在底面ABC内的投影为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以H的轨迹是以为圆心半径为的圆，取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，所以，所以，设直线MH与直线的所成角为，所以.故选：ACD.12【答案】AD【详解】对于A，当时，则方程为，整理可得，由方程易知，曲线分别关于轴成轴对称，关于原点成中心对称，作图如下：由图可知曲线的周长是半径为的半圆的倍，则为，故A正确；对于B，由题意作图如下：由图可知，为倍的直径，则，故B错误；对于C，由题意可作图如下：由图可知过点至多可以作出2条直线和曲线C相切，故C错误；对于D，由题意可作图如下：由原点到直线的距离，且直线与直线平行，则到直线的距离为，故D正确.故选：AD.13【答案】【详解】由题意，则，即，解得.故答案为：.14【答案】【详解】由已知可得，.又直线l的方向向量为，所以，与共线，所以有，解得.故答案为：.15【答案】【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案【详解】设，又点，则，所以，又点A在圆上，则，即，所以线段AB的中点P的轨迹方程为故答案为：16【答案】【详解】设，中点，由已知可得，圆的圆心，半径.连接，由垂径定理可得，且，所以.由直线l：上存在点，可设点，则，所以，可得，即，即，所以，由，可得，即，由题意知，至少存在1个点，所以，整理可得，解得，即.故答案为：17【答案】(1)(2)或【详解】（1）由，则其斜率，由，则直线的斜率，设，将点代入，解得，则.（2）由题意可设，整理可得，由圆，则其圆心，半径，设圆心到直线的距离，由题意可得，整理可得，解得或，可得或.18【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意从7名奥运会志愿者中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，共有，共12种等可能情况，被选中的情况有共4种，故被选中的概率为；（2）事件和不全被选中的对立事件为和全被选中，和全被选中情况有共3种，故事件和不全被选中的概率为.19【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果（1）解：如图，以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，2，0，0，2，2，2，0，且，平面，平面（2）解：由（1）知，为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，故点到平面的距离；20【答案】(1)(2)的横坐标范围为即可逃脱.【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，设成功点，可得=，即，化简得，因为点M需在矩形场地内，所以，故所求轨迹方程为（2）当线段FP与（1）中圆相切时，则，所以，所以，若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是21【答案】(1)证明见解析(2)存在, 【详解】（1）设E为CD的中点，连接AE，则，结合，可知四边形为矩形，故；又面，面，故,以点A为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，又，则，即，而平面，故平面；（2）假设在线段上存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，则直线和平面所成角的正弦值是；由（1）知，设，则，故，设直线和平面所成角为，则，即得，解得或（舍），故在线段上存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，且.22【答案】(1)(2)【详解】（1）由圆，可知，半径为1，设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在，设切线方程为：，即，由，解得或，因此切线所在直线方程为或，分别联立，解得，即，所以.（2）由（1）知，半径为1，设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在，设切线方程为：，即，因为，所以，即，设，是方程的两个根，则，所以，在切线方程中，令，得，设，则，则的面积为，当时，的面积取