浙东北联盟（ZDB）2024/2025学年第一学期期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.直线的方程为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因，所以.故选：B.2. 双曲线的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出即可求出焦距.在双曲线中，所以焦距为故选：B3. 已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则动点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，然后结合两点间的距离公式即可求解设，因为，与圆相切，所以，又，所以四边形为正方形，所以，则，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以动点的轨迹方程为故选：A4. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）A. 2B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果.因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，设抛物线与底面交点为E，则，设抛物线为，则，解得，即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.故选：B.5. 如图，在平行六面体中，点P在上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.，.故选：A6. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C7. 已知曲线，则下列结论中错误是（ ）A. 曲线关于直线对称B. 曲线与直线无公共点C. 曲线上的点到直线的最大距离是D. 曲线与圆有三个公共点【答案】C【解析】【分析】根据曲线的图象、对称性、点到直线的距离、曲线与圆的交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.A选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入得，整理得，所以曲线关于直线对称，A选项正确.B选项，联立，将代入，得，所以曲线与直线无公共点，B选项正确.下面分析曲线的图象：曲线，当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为，不符合.当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为.由此画出曲线的图象如下图所示，对于C选项，由于可知，曲线上的点到直线的最大距离是，即圆弧（）的半径，所以C选项错误.对于D选项，圆的圆心为，半径是，与圆弧（）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为.结合图象可知曲线与圆有三个公共点，D选项正确.故选：C 【点睛】思路点睛：通过代入验证对称关系：首先将对称点代入曲线方程，从而验证曲线是否关于某条直线对称，这个方法简单直接，有助于准确判断曲线的几何性质.联立方程判断交点：通过联立曲线和直线的方程，求出它们是否有公共点，从而判断选项是否正确，联立方程是判断交点的标准方法，确保结果的准确性.8. 已知是椭圆的左右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】设，与椭圆方程联立方程组，求得切线的方程，进而求得左焦点作直线的垂线方程，联立两直线方程，求得交点的坐标，可求点与原点之间的距离.直线的斜率显然存在，所以设直线的方程为，即，联立方程组，消去，得，因为直线与椭圆相切于点，所以，整理得，解得，所以切线方程为，由椭圆，可得，所以，可得左焦点，所以过左焦点与直线的垂直的直线方程为，联立方程组，解得，所以，所以点与原点之间的距离为.故选：B.【点睛】思路点睛：在平面解析几何中，求切线方程，常常是设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，利用求得参数，进而得到直线方程.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由向量的加减乘除运算，垂直，平行的的性质逐项运算即可.A：，所以，A正确；B：，所以，B错误；C：，所以，C正确；D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误故选：AC10. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）A. 直线恒过点B. 直线的斜率一定存在C. 若，则或D. 存在实数使得【答案】AD【解析】【分析】将点的坐标代入方程，即可判断A，利用特殊值说明B，根据两直线平行的充要条件求出的值，即可判断C，利用特殊值判断D.解：将点代入直线中可得等号成立，所以直线恒过点，故A正确；当时，直线的斜率不存在，故B错误；当时，解得或，当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误；当时，此时，故D正确故选：AD11. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，下列说法正确的有（ ）A. B. 的最小值为C. 以为直径的圆过原点D. 【答案】ABD【解析】【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出;对于B利用弦长公式再结合二次函数求最值即可;，对于C，以为直径的圆过原点，则.结合韦达定理判断数量积是否为0判断即可;对于D，利用即可验证.对于A,设直线的方程为，则由，消去整理，得，因为直线交抛物线与两点，设，则所以，故A正确.对于B,，m=0时等号成立，故B正确.对于C,如果以为直径的圆过原点，则.由于，结合A选项，故不垂直.故C不正确.对于D,.,即，故D正确.故选：ABD非选择题部分三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，所以两圆相交，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是_【答案】【解析】【分析】根据投影向量的公式,结合空间向量的坐标表示求解.向量在向量上的投影向量等于，故答案为：.14. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设相关直线，分别求四点坐标，再结合向量共线的坐标表示分析运算可得，即可得离心率.设双曲线的渐近线为，且，直线，直线，联立方程，解得，不妨令，同理可得：，且，则，因为三点共线，则，则，整理可得，同理由三点共线可得，即，整理可得，因为，即，则，解得，即，所以双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用向量说明三点共线问题，可以避免斜率不存在的问题，使得问题更加严谨方便.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 已知点，圆；（1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；（2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）或. （2）或【解析】【分析】（1）的截距均为0与不为0两种情况求解即可；（2）由已知求得圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况求解可得直线的方程.【小问1】当的截距均为0，即直线过原点时，设直线的方程为：代入点，解得，直线的方程为；当截距不为0时，设直线的方程为：，点入点，解得，直线的方程为；综上所述，直线的方程为或.【小问2】且圆的半径为2，圆心到直线的距离为1.当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为：即，又圆心到直线的距离为解得，直线的方程为：；综上所述，直线的方程为或.16. 如图，在棱长都为2的平行六面体中，点在底面上的投影恰为与的交点；（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果；（2）由线面角的向量求法计算即可得出结果.【小问1】由题意可知，底面为菱形，可得，依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：易知；设平面的法向量为n=x,y,z，则即，据此可得平面的一个法向量为：，又易知点到平面的距离.【小问2】设直线与平面所成角为，平面的法向量为，又则即，据此可得平面的一个法向量为，又因此，故直线与平面所成角的正弦值为.17. 如图，在四棱锥中，平面，点在线段上，且.（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）存在，【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可；（2）设，由题意可得，当平面的法向量时，四点共面，利用数量积的坐标表示求出即可.【小问1】因为平面，以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，方向为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知：，由可得点的坐标为，由可得，设平面的法向量为：，则，据此可得平面的一个法向量为：，很明显平面的一个法向量为，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.