甘肃省庆阳市宁县第一中学20242025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1将自然数1，2，3，4，5，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（）A22B30C37D462在等差数列an中，已知，则数列an的通项公式可以为（）AB CD3已知等比数列的前n项和为，且，若，则（）A550B520C450D4254过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）ABCD5直线：，：，若，则实数的值为（）A0B1C0或1D或16已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）A2B3C4D57若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（）A5B1CD8已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9已知是的前项和，则下列选项正确的是（）ABCD是以为周期的周期数列10已知等比数列中，则（）A公比为BC当时，D的前10项积为111若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（）A0BC1D2三、填空题（本大题共3小题）12设等差数列与的前n项和分别为，且，则 13设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 14已知，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 四、解答题（本大题共5小题）15等差数列an的前项和为，已知，.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前项和.16已知是各项均为正数的等比数列，且，成等差数列(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和17已知点，直线.(1)求点P到直线l的距离；(2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标.18已知的圆心在x轴上，经过点和(1)求的方程；(2)过点的直线l与交于A、B两点（）若，求直线l的方程；（）求弦AB最短时直线l的方程19把满足任意总有的函数称为和弦型函数.(1)已知为和弦型函数且，求的值；(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明参考答案1【答案】B【分析】由根据题意观察“拐角数”的性质，可得第个“拐角数”等于，进而逐项判断即可得到答案.【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，则第个“拐角数”为.对于A：第6个“拐角数”是，故A错误；对于B，C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B正确，故C错误；对于D：第9个“拐角数”是，故D错误.故选B.2【答案】C【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，则由，得，代入，整理得，解得当时，；当时，方法二（等差数列的性质），当时，；当时，方法三（方程思想），（由和与积，联想到根与系数的关系），是方程的两根，或由，得，同理，由，得故选：3【答案】D【详解】由等比数列前n项和的性质可得，成等比数列，则，设，则，等比数列中，解得，故，故选：D4【答案】B【详解】设直线的倾斜角为， 当直线的斜率不存在时，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点， ，则，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.5【答案】C【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选：.6【答案】A【详解】因为直线与直线平行，所以，解之得.于是直线，即，所以与之间的距离为.故选：A7【答案】C【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C8【答案】B【详解】设，由中点坐标公式得，所以，故，因为A在圆上运动，所以，化简得，故B正确.故选：B9【答案】BD【详解】，则数列an是以为周期的周期数列，故正确；则，故错误；，故正确；可得，故错误故选：10【答案】ABD【详解】对于A项，设等比数列an的公比为，由，得，解得，故A正确；对于B项，则，故B正确；对于C项，当时，则，故C错误；对于D项，由，可得an的前10项积为，故D正确故选：ABD.11【答案】AD【详解】方程，即，若方程表示圆，则，解得或，结合选项可知AD正确，BC错误.故选：AD12【答案】【详解】，故答案为：13【答案】【详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故答案为：.14【答案】【详解】设，因，则.因，则重心坐标为.设，则，则.故重心轨迹方程为：.故答案为：.15【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列an的公差为，公差为， ；（2）由已知，时，；时，；综上.16【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，且，因为，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，则，所以.17【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点，直线，所以点P到直线l的距离为；（2）设点关于直线对称的点的坐标为，则中点的坐标为，又直线的斜率为，所以，解得，即.18【答案】(1)(2)或；.【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.（2）当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，因为，则，此时，直线的方程为，即.19【答案】(1)；(2)(3)，证明见解析【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解；（2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证.【详解】（1）令，则，可得，令，则，则；（2）令，则，即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，即，则；（3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数，则，即是偶函数，为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数，且均为自然数，且，设，则，令，则，即，故数列单调递增，则，又是偶函数，所以有.【思路导引】根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性.