华师一附中2024-2025学年度上学期期中高二数学一、 单选题1. 在长方体中，运算的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解】如下图示，.2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ）A. 8B. 1C. 16D. 【答案】A【解】直线过圆心，则，且，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为8.3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解】设点，因点为线段的中点，则（*）又在椭圆上，则 ， ，由，可得，将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，故直线的方程为：，即.4. 如图所示，在正三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解】由，而且，则，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切.由配方得：，知圆心半径；由配方得：，知圆心半径.由，可得，解得.6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解】与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，令切线为，联立椭圆方程有，整理得，所以，则，对于，其切点到距离为，对于，其切点到的距离为，点M到直线距离最小值为.7. 已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解】由为等腰三角形，则有，而，又，若，则，所以，在中，在中，即，整理得，则.8. 设a为实数，若直线，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，有（ ）A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组【答案】B【解】的方向向量分别为，若，则，此时，它们交于一点，不符；若，则或或，当时，满足题设；当时，满足题设；当时，重合，不符；若，则或，当时，满足题设；当时，同上分析，不符.综上，、时满足要求，故有3组.二、 多选题9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1【答案】CD【解】由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为.对于A，当或时 ，则，当时，由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误；对于B，D，当时，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确；对于C，当时，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确.选：CD.10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ）A. 椭圆的标准方程为B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4C. 椭圆上恰有四个点M，使得D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为【答案】BCD【解】若椭圆上点为，则在上，故，所以椭圆，A错；假设是直线与交点，因为MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，所以为线段的中点，且，而是的中点，故中为中位线，故为定值，B对；当为椭圆上下顶点时最大，此时，又，故，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得，C对；若内切圆半径为，则，所以，要使最大，只需最大，为，所以最大，D对.故选：BCD11. 如图，正方体透明容器的棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A. B. 向量在向量上的投影向量为C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解】A：由正方体性质知：且都在面内，所以面，面，则，对；B：且，若是交点，连接，所以，故为平行四边形，则且，所以所成角，即为所成角，由题设，易知，在中，即夹角为，所以夹角为，故向量在向量上的投影向量为，错；C：令放在桌面上的顶点为，若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为，对；D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数，令，则，而，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有个，所以正方体一共可以放个小球，错.故选：AC三、填空题12. 对于任意实数，的最小值为_【解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和，要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为.13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为_【答案】和【解】由,可得，则与AB边垂直的两条边所在的直线的斜率为，其方程可设为：，即.由正方形的性质，可知点到直线的距离等于它到直线的距离，故有，解得或，故与AB边垂直的两条边所在的直线方程为和.故答案为：和.14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为_【解】由椭圆方程可知：，圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径，因为，可知四边形的面积，当最小时，即为四边形的面积最小，又因为，可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小，且点P是椭圆上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，此时，由对称性可知：，即，为等边三角形，则.三、 解答题：15. 已知ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为（1）求点B的坐标；（2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程【解】可设点，因为，则的中点在直线上，可得，解得，所以点B的坐标为.【2】设关于直线对称点为，则，解得，即所以反射光线所在直线方程为，可得.16. 已知圆和，（1）求过点且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由【解】由，可得，如图1，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程为；设另一条切线方程为：，即，由圆心到直线的距离，解得，故另一条切线方程为：.综上，过点且与圆M相切的直线方程为或；【2】解法一：如图2，因，故,则直线的方程为：，设在直线AC上存在点，满足，则有，即，因，方程有两个不等根，即在直线AC上存在两个点，满足.故符合题意的点有两个.解法二：设在直线上存在点，其坐标为，因，故,则直线的方程为：.由，可得，化简得：，即，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（如图3），故要判断点的个数，只需判断直线与圆的位置关系即可.因圆心到直线距离为，可知直线与圆相交，即满足题意的点有两个.17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为（1）求点A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【解】因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为，设点A到平面的距离为，则，即，解得，所以点A到平面的距离为.【2】过作，垂足为，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面，可得，又因为平面且相交，所以平面，所以两两垂直，设，则，由的面积可得，即，解得，即，又因为的面积为，解得，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，则，设平面的一个法向量m=x,y,z，则，令，则，可得，设平面的一个法向量n=a,b,c，则，令，则可得，则，设二面角为，则，可得所以二面角的正弦值为.18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程：（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N（）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（）求面积的最大值【解】：，则，可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以曲线C的方程为.【2】联立方程，消去y可得，因为直线与曲线C相切，则，整理可得，则原方程为，解得，将代入直线，可得，可知，且，则，不为定值；由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径， 因为O0,0到直线的距离，可得，因为，则，可得，则面积，可知当，即时，取到最大值.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆M的方程；（2）过x轴上的一定点作两条直线，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示（）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点；（）若直线，相互垂直，试求的取值范围【解】，可得，故椭圆方程为；【2详】（）令，且，且均不为2，联立，则，且，所以，则，由，所以，则，所以，故或，当时，此时过定点；当时，此时过定点，而该点在椭圆内，与在同侧矛盾；综上，直线过定点，得证.（）由，又直线，相互垂直，即，所以，若，则，所以，令，则，且，联立，可得，显然，则，同理，所以，所以，令，则，所以，综上，