台州市2025届高三第一次教学质量评估试题数学 2024.11本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则的值为（）ABCD2椭圆与椭圆的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等3若复数是方程的一个虚根，则=（）A2B2CD4已知集合，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，则（）A6.6B5C1D146已知是定义在上的奇函数，当时，则（）A3B2C2D37已知球的半径为3，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（）ABCD8台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（）ABCD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下列选项正确的是（）A若随机变量，则B若随机变量，则C若随机变量服从01分布，且，则D若机变量满足，则10已知函数，且，则下列选项正确的是（）A的最小正周期为B的图象关于直线对称CD在0，上有两个不同的零点11已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（）A当时，B当时，C当时，的最大值为D当时，则的最大值为非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设从上至下各层球数构成一个数列则 .（填数字）13若在上单调递减，则实数的最大值为 14已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 ；圆的半径取值可能为 （请写出一个可能的半径取值）四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知的内角所对的边分别为，且(1)求角；(2)若的面积为，为的中点，求长度的最小值16如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值17已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围18已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由19对于无穷数列和如下的两条性质：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得(1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由；(2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列设数列同时满足性质和性质若，求的取值范围；求证：存在的子数列为等差数列1D【解析】略2D【解析】略3B【解析】略4A【解析】略5C【解析】略6B【解析】略7C【解析】略8D【解析】略9ABD【解析】略10BC【解析】略11ACD【解析】略12【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解【详解】解：由题意可知，故，所以，故答案为：13【解析】略14 【解析】略15(1)(2)【详解】解：（1）已知，由正弦定理得，因为，所以，整理得，即，又因为，所以（2）已知，由（1）知，得，因为，当时取到等号，所以的最小值为16(1)证明见解析(2)【详解】解：（1）不妨设正方形边长为2，则，由，得，再由，得平面，因为平面，所以平面平面（2）取中点，连结，则平面，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则取，记与平面所成角为，则17(1)(2)【详解】解：（1）的定义域为，令，解得，由，解得，所以函数的单调递减区间是（2）记，因为，所以，得，令，解得或，当时，在上恒成立，因此，在上单调递减，得，即对任意恒成立当时，对任意，因此，在上单调递增，当时，不满足题意综上，18(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为(2)证明见解析(3)是，【详解】解（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为（2）联立方程组消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，又由，求得直线的方程为，联立方程组消去得，因为，所以直线与抛物线相切（3）因为，得准线为线段的中垂线，则直线与直线的倾斜角互补，即，设，由条件知，联立方程组消去得，则，联立方程组消去得，则，所以，故为定值19(1)满足，理由见解析(2)3，5）；证明见解析【详解】解：数列满足性质且，因为，所以，又因为，所以，因此，存在，使得且，都有，故满足性质注：取之间的任意实数都可以（2）因为数列满足性质，所以是单调递增数列，又因为数列满足性质，所以存在，使得而，因此，由，得，由，得，故的取值范围是3，5）由数列满足性质，可知单调递增，设，令，由性质，存在，使得，同理，存在，使得，以此类推，当时，存在，使得，由数列单调递增，可知记，则，因为，所以数列是等差数列，故存在的子数列为等差数列，得证