浙江省台州市十校联盟20242025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1直线的倾斜角为（）ABCD2已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）AB3C6D93若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）ABCD4空间四边形中，点在上，且为中点，为中点，则等于（）ABCD5已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）ABCD6方程表示椭圆的充要条件是（）ABCD或7如图所示，正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（）A直线与直线垂直B三棱锥的体积为C直线与平面平行D直线与平面所成的角为8已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9在空间直角坐标系中，点O0,0,0，下列结论正确的有（）AB向量与的夹角的余弦值为C点关于轴的对称点坐标为D直线的一个方向向量10已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（）A的一个方向向量为B在轴上的截距等于C与直线垂直D点到直线上的点的最短距离是111已知直线与圆相交于、两点，下列说法正确的是（）A若圆关于直线对称，则B的最小值为C若、（为坐标原点）四点共圆，则D当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点三、填空题（本大题共3小题）12已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 .13直线关于直线对称的直线的方程为 .14已知实数、满足，则的取值范围为 .四、解答题（本大题共5小题）15求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线平行；(2)与直线垂直.16如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，底面，、分别为、的中点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.17已知直线及圆.(1)求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；(2)若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.18如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.19已知椭圆的左、右顶点为，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.(1)求椭圆的方程；(2)记直线，的斜率分别为、，求的值；(3)证明：直线过定点，并求该定点坐标.参考答案1【答案】D【详解】因为直线，即所以，且所以故选:D.2【答案】A【详解】设直线的方向向量，直线的方向向量，由于，所以，因此可得：，解得：.故选：A3【答案】A【详解】因为点在圆的内部，所以，即，解得，实数的取值范围是，故选：A.4【答案】B【详解】根据题意画出如图所示的空间四边形由图可知故选：B.5【答案】C【详解】设圆心为，由题意得，即，解得，故圆心，半径为，故圆的标准方程为.故选：C6【答案】D【详解】方程表示椭圆，则，解得，且，反之，当，且时，方程表示椭圆，所以方程表示椭圆的充要条件是或.故选：D7【答案】C【详解】在棱长为的正方体中，建立为原点，以，所在的直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：因为，分别为、的中点，则A1,0,0，；对于A选项，由于，因此直线与直线不垂直，故A选项错误；对于C选项，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为直线在平面外，所以直线与平面平行，故C选项正确；对于D选项，设直线与平面所成的角为，故D选项错误；对于B选项，又因为在正方体中，底面，所以，故B选项错误.故选：C8【答案】C【详解】解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知由题意知OQ是F1F2M的中位线Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：C9【答案】BCD【详解】对于A选项，由于，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误；对于B选项，设向量与向量的夹角为，则，故B选项正确；对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确；对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确.故选：BCD10【答案】BCD【详解】由题意得直线的斜率，又直线经过点，所以直线方程为，化简得；对于A，直线的一个方向向量为，则与不平行，所以不是直线的方向向量，故A不正确；对于B，令，则，解得，所以直线在轴上的截距等于，故B正确；对于C，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直，故C正确；对于D，点到直线的距离，所以点到直线上的点的最短距离是1，故D正确；故选：BCD.11【答案】AD【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，则，解得，A对；对于B选项，直线的方程可化为，由得，所以，直线过定点，则，当时，圆心到直线的距离取最大值，且最大值为，因为，则，则，B错；对于C选项，若、四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，圆的方程为，整理为，直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得所以直线的方程是，将直线所过的定点坐标代入上式得，得，所以直线，即直线的斜率为，即，则，C错；对于D选项，当时，直线，曲线，即，所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，D对.故选：AD.12【答案】/0.5【详解】由椭圆的标准方程可知，所以，因为，所以，所以离心率，故答案为：.13【答案】【详解】联立，解得，所以是直线和直线的交点，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以直线的方程为，即直线关于直线对称的直线的方程为；故答案为：.14【答案】【详解】等式可化为，令，整理可得，所以，直线与圆有公共点，且圆心为，半径为，则，整理可得，解得或，因此，的取值范围是.故答案为：.15【答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得，即点，由于所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，代入，得：，解得，所以所求直线方程为.（2）由（1）知，点，由于所求直线与直线垂直，设所求直线方程为，代入，得：，解得，所以所求方程为.16【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，底面，所以、两两相互垂直，如图，以为原点，分别以、方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0、，、，则，设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，故，即，则，令，则，所以为平面a的一个法向量，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解：由平面的一个法向量为，.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.17【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）证明：因为直线，得，由，可得，所以直线过定点.圆，所以定点在圆上，圆心，半径为.当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以.（2）解：设点到直线的距离为，利用勾股定理得：.同时利用圆心到直线的距离：，解得.18【答案】(1)证明见解析(2)(3)不能，理由见解析【详解】（1）因为平面，所以，又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，D0,1,0，所以，所以，所以，且，平面，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，所以，又由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.（3）由（1）得，设，则，可得，所以，由（2）知是平面的一个法向量，若平面，可得，则，该方程无解，所以直线不能与平面垂直.19【答案】(1)(2)(3)证明见解析，【详解】（1）由已知得，则，故椭圆的标准方程为；（2）法一：设，则圆的方程为：，圆过，代入圆的方程得，故；法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，圆过，由题意可设，则；（3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，设直线，则，需满足，则，则，结合第一问知，即，即得，化简得，解得或，当时，直线PQ方程为，直线PQ过点A2,0，不合题意，当时，直线PQ方程为，故直线PQ过定点；当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，圆G方程为，令，则，此时不妨设，则的方程为，即，联立，得，解得或，即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点，故直线PQ过定点.