湖北省宜昌市协作体20242025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1直线和直线的位置关系为（ ）A垂直B平行C重合D相交但不垂直2已知向量，且，则（ ）ABC1D03已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）A0BCD4袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（）A0.64B0.72C0.76D0.825如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，若，则（ ）ABC6D6已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）ABCD7若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（）A-1B2C-l或2D-2或l8在正三棱锥P-ABC中，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ）ABCD3二、多选题（本大题共3小题）9已知直线，则（ ）A不过原点B在x轴上的截距为C的斜率为D与坐标轴围成的三角形的面积为10甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（ ）ABC事件C与D互斥D事件A与事件D相互独立11如图，在棱长为的正方体中，分别是，的中点，则下列说法正确的有（）A，四点共面B与所成角的大小为C在线段上存在点，使得平面D在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共3小题）12已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为 .13在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 .14九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上19中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为 .9a7bcd4e6四、解答题（本大题共5小题）15在平面直角坐标系中，的顶点，关于原点O对称.(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)已知过点B的直线l平分ABC的面积，求直线l的方程.16如图，在三棱柱中，点满足.(1)用表示；(2)若三棱锥的所有棱长均为，求及.17在荾形中，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时(1)求证：平面平面；(2)若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值18为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率19在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中(1)求经过的直线的点方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小参考答案1【答案】A【详解】直线和直线的斜率分别为，因为，所以.故选：A2【答案】C【详解】因为，故，即.故选：C3【答案】D【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，又，所以，因为，所以.故选：D.4【答案】C【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，且，所以，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76故选C5【答案】B【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.6【答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为，所以，则向量在向量上的投影向量为：.故选D.7【答案】A【详解】当时，可得，由，则此时不符合题意；当时，可得直线的斜率，直线的斜率，由，整理可得，则，解得或，当时，可得，整理的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意；当时，可得，整理的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意.综上可得.故选：A.8【答案】B【详解】在正三棱锥中，又，所以，所以，同理可得，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以，故选B.9【答案】ACD【详解】因为，所以不过原点，所以A正确；令，得，所以在轴上的截距为，所以B错误；把化为，所以的斜率为，所以C正确；把化为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，所以D正确.故选：ACD.10【答案】ABD【详解】对于A，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则，A正确；对于B，事件C包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则，故B正确；对于C，事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误：对于D，由，得A，D相互独立，D正确.故选：ABD.11【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.【详解】以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，解得，故，即，四点共面，故A正确；因为，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；故选ABD.12【答案】/【详解】将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为：13【答案】【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，则，设与，都垂直的一个向量，则，取，则，所以与BD1，CD都垂直的一个向量，所以直线与之间的距离为.故答案为：14【答案】/【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有种等可能的结果，其中的结果有种，所以的概率为，故答案为：.15【答案】(1)(2)【详解】（1）因为B，C关于原点O对称，所以，所以边上高所在直线的斜率为， 因为，所以BC边上高所在直线的方程为，所以BC边上高所在直线的一般式方程为.（2）因为过点的直线平分的面积，所以直线l经过边AC的中点12,1， 又，所以直线l的方程16【答案】(1)(2)，【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为三棱锥的所有棱长均为，所以，所以，所以，所以，所以.17【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.【详解】（1）证明：因为四边形是菱形，所以与均为正三角形，取的中点，连结，则，因为，所以，因为，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以， 所以，设为平面的一个法向量，则令，得，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，所以，即乙至少有1个回答正确的概率是（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件所以，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是19【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为（2）由平面可知，平面的法向量为，由平面可知，平面的法向量为，设交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，因为，即，且，所以（3）因平面经过三点，可得，设侧面所在平面的法向量，则，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量为，设平面与平面的交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，