江苏省南京市20242025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1下列四组数据中，方差最小的是（）A5，5，5，5，5，5，5，5B4，4，4，5，5，5，6，6C3，3，4，4，5，6，6，7D2，2，2，2，2，5，8，82已知，则（）ABCD3直线的倾斜角为（）ABCD4两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（）ABCD5若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）ABCD6底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（）ABCD7已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（）ABC2D38抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（）ABC和是互斥事件D和是相互独立事件10在矩形ABCD中，.若，则（）ABC以CE为直径的圆与直线BF相切D直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上11已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（）A当时，BC存在点，使得D三、填空题（本大题共3小题）12若直线与垂直，则实数 .13已知，则 .14历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时， .四、解答题（本大题共5小题）15记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求的面积.16已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为.(1)求的值和直线的方程；(2)记与的另一个交点为，求经过，三点的圆的方程.17在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点.(1)证明:平面；(2)若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值.18已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2(1)求圆的方程；(2)直线经过点，且与圆交于A，B两点，求的方程和的值；若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值.19已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为.(1)求的方程；(2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点，P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.参考答案1【答案】A【详解】设个数据，的平均数为，则方差为，方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为；对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于D，这组数据波动较大，故方差较大；故选：A.2【答案】D【详解】,故选：D.3【答案】B【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可得到答案.【详解】设直线的倾斜角为，则直线斜率，因为，则，故选：B.4【答案】B【详解】设双曲线的标准方程为，则渐近线的方程为，由两条渐近线互相垂直，即，即，又双曲线的离心率为，故选：B.5【答案】C【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选:C.6【答案】B【详解】设圆柱的底面直径与高为，则圆柱的体积为，解得，则外接球的直径为，即圆柱的外接球的半径为，则圆柱的外接球的表面积为，故选：B.7【答案】C【详解】设，因为，所以，则，整理得，所以，故选:C.8【答案】D【详解】如图，抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以即为所求，故选: D.9【答案】AD【详解】由题，样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），（正，正），（正，反），（正，反），（反，反），所以，A正确；（正，反），所以，则B错误，因为，所以和不是互斥事件，C错误，因为,所以，所以和是相互独立事件，D正确.故选:AD.10【答案】BCD【详解】如图，以为坐标原点，方向为轴，建立平面直角坐标系，则,对A，,所以不平行，A错误；对B，,所以，B正确；对C，的中点为，因为，所以的直线方程为，化为一般式，则点到直线的距离为，又因为,所以,所以以CE为直径的圆与直线BF相切，C正确；对D，因为,所以的直线方程为，联立，解得，所以直线AE与BF的交点为，矩形ABCD的外接圆是以2,1为圆心，为半径的圆，因为点到2,1的距离为，所以直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上，D正确；故选:BCD.11【答案】ABCD【详解】设，则,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，则，时，代入，解得，此时，A正确；因为为的中点，所以,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，B正确；因为，,所以,所以，所以当时，因为点为上异于A，B的动点，所以存在点或时，使得，C正确；以下证明，若，则，,所以,所以，因为，所以，设，则，D正确；故选：ABCD.2.本题选项D需使用三角形面积的坐标表示：若，则.12【答案】【详解】由直线与垂直，则，解得，故答案为：.13【答案】/【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为： .14【答案】9【详解】延长交于点，因为直线平分，所以，所以，所以，由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点，则由中位线的性质可得，所以，所以.故答案为：9.15【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，边化角可得，即，又因为，且，所以，因为，所以.（2）由余弦定理，所以，即，所以，所以的面积为.16【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以；因为直线在轴上的截距为，所以设，又因为直线经过点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）设，联立，消去可得，解得，则，所以，设经过，三点的圆的方程为，则有，解得，所以圆方程为.17【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，是的中点，所以,又因为平面, 平面,所以平面.（2）因为，所以，因为平面， 且四面体PABC的体积为2，所以，即，所以,所以,过点作的垂线，垂足为，连接，则有，因为平面平面，所以,又因为平面，所以平面，所以为MN与平面PAC所成角，因为平面，所以，在中，由等面积法可知，所以,则,所以即为MN与平面PAC所成角的正弦值.18【答案】(1)(2)或；动圆圆心到点距离的最小值为.【详解】（1）过点作圆的切线，设切点为,连接，因为,所以,所以圆.（2）显然, 直线的斜率存在，设直线的方程为，设圆心到直线的距离为，所以，解得，又因为，整理得，解得或，所以的方程为或；在中，,所以.设动圆的半径为，则由题意可得，,所以，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，则有，所以双曲线方程为，设动点，则有，所以，所以，由二次函数的性质可知，当时，有最小值，最小值为，所以，此时.19【答案】(1)(2)或.,证明见解析.【详解】（1）由题意得，,所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，,即，设，联立，消去整理得，由相交得，即，解得，由韦达定理得，因为，所以矩形中即为两平行线间的距离，因为，即，所以，又由题意得，,所以,即，此时，所以，化简得，解得或，所以直线或.因为，所以，则有，由韦达定理，（此处，因为点在椭圆上，所以）所以，进而，此时有，所以.