专题七 全等三角形八大模型必考点【人教版】【考点1 一线三等角构造全等模型】【考点2 手拉手模型-旋转模型】【考点3 倍长中线模型】【考点4 平行线+线段中线构造全等模型】【考点5 角平分线+垂直构造全等模型】【考点6 正方形中的半角模型】【考点7 等腰三角形中的半角模型】【考点8 对角互补且一组邻边相等的半角模型】【考点1 一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型”最关键的要点就是证明角相等，（1）三垂直：利用同角的余角相等（2）一般角：利用三角形的外角的性质1阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90，于是有三组边相互垂直所以称为“一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形（1）问题解决：如图1，在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，过点C作直线DE，ADDE于D，BEDE于E，求证：ADCCEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，过点C作直线CE，ADCE于D，BECE于E，AD2.5cm，DE1.7cm，求BE的长；（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（1，0），C（1，3），ABC为等腰直角三角形，ACB90，ACBC，求B点坐标.2如图，已知A（3，0），B（0，1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BABC，连接AC（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时APB的度数及P点坐标3如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DEOC交y轴于点E，已知AOm，BOn，且m、n满足n212n+36+|n2m|0（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DGDF，连接BGBG与y轴的位置关系怎样？说明理由；求OF的长；（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P点的坐标为（6，6），是否存在点E使EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由【考点2 手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等（或者对应成比例），然后夹角相等。若两两相等，就出三角形全等。1如图在平面直角坐标中，点A和点B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C为x轴上点B右侧的任意一点，以AC为腰向右上方作等腰ACD，使CADOAB，ADAC，直线BD与y轴交于点P（1）求证：AOAB；（2）求证：AOCABD；（3）直接写出当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变？2在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”（1）如图1，ABC与ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，则有 BADCAE（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边分别向外作等边ABD和等边ACE，并连接BE，CD，则BOD60（3）如图3，在两个等腰直角三角形ABC和ADE中，ABAC，AEAD，BACDAE90，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由3如图，在ABC中，AC10（1）如图，分别以AB，BC为边，向外作等边ABD和等边BCE，连接AE，CD，则AE CD（填“”“”或“”）；（2）如图，分别以AB，BC为腰，向内作等腰ABD和等腰BCE，ABDCBE且小于ABC，连接AE，CD，猜想AE与CD的数量关系，并说明理由；（3）如图，以AB为腰向内作等腰ABD，以BC为腰向外作等腰BCE，且ABDCBE，已知点A到直线DE的距离为3，AE12，求DE的长及点D到直线AE的距离【考点3 倍长中线模型】方法点拨：通过延长三角形的中线，使延长后的线段是原中线的2倍，从而构造一对8字型的全等三角形（SAS），实现边角的转移。1（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，若AB13，AC9，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DEAD，连接BE，容易证得ADCEDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中（2）【初步运用】如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且FAEAFE若AE4，EC3，求线段BF的长（3）【拓展提升】如图3，在ABC中，D为BC的中点，DEDF分别交AB，AC于点E，F求证：BE+CFEF2（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使EDAD，连接CE证明ABDECD；若AB5，AC3，设ADx，可得x的取值范围是 ；（2）如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF3（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB6，AC4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明【考点4 平行线+线段中线构造全等模型】方法点拨：该模型与倍长中线模型都有中点条件出现注意两个模型区别：倍长中线出现的是三角形的中点，条件单一，求解大多是线段和的不等量关系；平行线中点出现的是线段中点+平行的条件，求解大多以求线段长为主。二者共性都是要构造8字全等三角形。1如图，公园有一条“Z”字形道路ABBCCD，其中ABCD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由2如图，在ABC中，ACB90，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DFDE，连接EF（1）如图1，当点F与点A重合时，AB8，DE3，求EF的长；（2）如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2+BE2EF2；（3）若AC8，BC6，EC2，求线段CF的长【考点5 角平分线+垂直构造全等模型】方法点拨：有角平分线时，常过向平分线上的点向角两边引垂线.根据角平分线上的点到角两边矩离相等，可构造出相应的全等三角形而巧妙解决问题1已知：如图，在ABC中，B60，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F若AE、CD为ABC的角平分线（1）求AFC的度数；（2）若AD6，CE4，求AC的长2如图：在EAF的平分线上取点B作BCAF于点C，在直线AC上取一动点P在直线AE上取点Q使得BQBP（1）如图1，当点P在点线段AC上时，BQA+BPA ；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： 3如图，在等腰直角ABC中，BAC90，点M为BC边上的中点（1）如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DCEA，连接MD、ME，求证：MEMD；（2）如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DCEB，AED30，连接ED，交BC于点N，EF是AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明【考点6 正方形中的半角模型】方法点拨：1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。1（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，延长CD到点G，使DGBE，连接EF，AG求证：EFFG；（2）如图2，等腰RtABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45若BM1，CN3，求MN的长2已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BM+DNMN当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明3阅读下列学习内容：（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，ABCD90，E，F分别是BC、CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系探究思路如下：延长EB到点G，使BGDF，连接AGABGADFDAF+BAE60GAB+BAE60EAG60AEFAEGEFEG则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 （2）根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在四边形ABCD中，ABBCCDDA，BADBCD90，点M、N分别在边BC、CD上，且MAN45，若BM3，ND2，请求出线段MN的长度