新疆喀什市20242025学年高二上学期期中质量监测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（）A150B110C70D202从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）A24B36C42D523抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”则下列结论不正确的是（）A为对立事件B为互斥不对立事件C不是互斥事件D是互斥事件4直线的一个方向向量是（ ）ABCD5已知空间向量，且，则（）AB16C4D6如图，空间四边形中，且，则（）ABCD7下列说法正确的是（）A零向量没有方向B在空间中，单位向量唯一C若两个向量不相等，则它们的长度不相等D若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底8若向量且与的夹角余弦为，则等于（）A2BC或D二、多选题（本大题共3小题）9在平行六面体中与向量相等的向量有（）ABCD10某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中的值为0.005B估计这200名学生竞赛成绩的平均数为80C估计这200名学生竞赛成绩的众数为78D估计总体中成绩落在60,70内的学生人数为15011下列说法正确的有（）A若事件与事件是互斥事件，则B若事件与事件是对立事件，则C把红橙黄3张纸牌随机分给甲乙丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件D某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件三、填空题（本大题共3小题）12第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 13数据20，21，22，23，24的方差是 .14若，则 ，若与互相垂直，则实数 .四、解答题（本大题共5小题）15在一个盒子中有3个红球（分别用，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球(1)求第一次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率16黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.17在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率18棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，是的中点.(1)证明：；(2)求；(3)求的长.19如图，在四棱锥PABCD中，平面平面ABCD，M为棱PC的中点(1)证明：平面PAD；(2)若，求二面角的余弦值；参考答案1【答案】D【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为.故选：D.2【答案】A【详解】从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、，选出的第4个同学的编号为24.故选：A3【答案】D【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确.故选：D.4【答案】A【详解】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故选：A.5【答案】A【详解】由题可知，解得，所以.故选：A.6【答案】A【详解】因为，可得，又因为，可得，所以.故选：A.7【答案】D【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.故选：D.8【答案】D【详解】，显然，则，两边平方后化简得，解得，正值舍去.故选：D9【答案】BC【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有3个，分别是，故选：BC10【答案】AD【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为.估计这200名学生竞赛成绩的平均数为，B错误；对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误；对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确.故选：AD11【答案】ABD【详解】对A，事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确；对B，事件与事件是对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确；对C，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生， 即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故C错误；对D，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故D正确；故选：ABD12【答案】【详解】解：将数据从小到大排列为：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.所以中位数为：.故答案为：13【答案】2【详解】由题，这组数据的平均数为，则这组数据的方差为.故答案为：2.14【答案】 【详解】空1：，则；空2：，若与互相垂直，则，.故答案为：；.15【答案】(1)(2)【详解】（1）两次取球的基本事件为，共20个，所以第一次取到红球的概率.（2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，由（1）可知两次取到红球的概率，两次取到黑球的概率，所以两次取到的球颜色相同的概率.16【答案】(1)(2)83.33(3)【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；（3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【详解】（1）由图知：，可得.（2）由，所以分位数在区间80,90内，令其为，则，解得.所以满意度评分的分位数为83.33.（3）因为评分在的频率分别为，则在50,60中抽取人，设为；在60,70中抽取人，设为；从这6人中随机抽取2人，则有：，共有15个基本事件，设选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人为事件，则有，共有8个基本事件，所以.17【答案】（1）（2）【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A），P（B），任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A）P（A）P（）+P（）P（B）（1）（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（）P（）P（）（1）（1）18【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直；（2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解；（3）求出的坐标，由公式计算出.【详解】（1）如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，故；（2）因为，所以因为， ，所以；（3）因为是的中点，所以，因为，所以，故.19【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：为棱的中点，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2），平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，由，以点为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图：则，所以，设平面BDM的法向量为，所以即令，则，所以平面BDM的一个法向量为，易知为平面PDM的一个法向量，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.