单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,2024-09-27,#,第一章 特殊平行四边形,第1课时 菱形的性质,数学,初中数学北师大版九年级上册,1 菱形的性质与判定,复习导入,回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？,定义：,两组对边分别平行的四边形叫做,平行四边形,。,复习导入,性质：,边：,平行四边形的对边平行且相等,.,角：,平行四边形的对角相等，邻角互补,.,对角线：,平行四边形的对角线互相平分,.,对称性：,平行四边形是中心对称图形,.,回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？,观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？,菱形的定义：,有一组邻边相等的平行四边形叫做,菱形,.,探究新知,下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。,动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形,.,探索并掌握菱形的定义,测量,折叠,重合,平行四边形,一组邻边相等,菱形,（,1,）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？,想一想,菱形的对边平行且相等，,对角相等，对角线互相平分。,（,2,）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。,想一想,1.,菱形的四条边都相等,.,2.,菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角,.,3.,菱形是轴对称图形,做一做,用菱形纸片折一折，回答下列问题：,（,1,）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？,菱形是轴对称图形；,有两条对称轴；,两条对称轴互相垂直。,做一做,用菱形纸片折一折，回答下列问题：,（,2,）菱形中有哪些相等的线段？,菱形的四条边相等。,类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳,.,边,角,对角线,对称性,四条边都相等,对边平行,对角相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,每一条对角线平分一组对角,既是中心对称图形又是轴对称图形,已知：如图，在菱形,ABCD,中，,AB,=,AD,对角,线,AC,与,BD,相交于点,O,.,求证,:,（,1,）,AB,=,BC,=,CD,=,AD,;,（,2,）,AC,BD,.,证明,:,（,1,）,四边形,ABCD,是菱形，,AB,=,CD,AD,=,BC,（菱形的对边相等）,.,又,AB,=,AD,AB,=,BC,=,CD,=,AD,.,已知：如图，在菱形,ABCD,中，,AB,=,AD,对角,线,AC,与,BD,相交于点,O,.,求证,:,（,1,）,AB,=,BC,=,CD,=,AD,;,（,2,）,AC,BD,.,又四边形,ABCD,是菱形,（,2,）,AB,=,AD,ABD,是等腰三角形,.,OB,=,OD,（菱形的对角线互相平分）,.,在等腰三角形,ABD,中，,OB,=,OD,AO,BD,，即,AC,BD,.,定理,菱形的四条边都相等,.,菱形的对角线互相垂直,.,例,1,如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,BAD=,60,，,BD,=6,，求菱形的边长,AB,和对角线,AC,的长。,解：四边形,ABCD,是菱形，,AB,=,AD,（菱形的四条边相等），,AC,BD,（菱形的对角线互相垂直），,OB,=,OD,=,BD,=3,（菱形的对角线互相平分）,.,在等腰三角形,ABD,中，,BAD,=60,，,ABD,是等边三角形,.,AB,=,BD,=6.,在,Rt,AOB,中，由勾股定理，得,OA,2,+,OB,2,=,AB,2,，,OA,=.,AC,=2,OA,=,（菱形的对角线互相平分）,1.,如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,.,已知,AB,=5cm,，,AO,=4cm,，求,BD,的长,.,【,选自教材,P4,页 随堂练习,】,达标检测,解：四边形,ABCD,是菱形，,AC,BD,（菱形的对角线互相垂直），,在,Rt,AOB,中,，,由勾股定理，得,OA,2,+OB,2,=AB,2,，,BO,=,四边形,ABCD,是菱形，,BD,=2,BO,=23=6,（菱形的对角线互相平分）,.,BD,的长为,6 cm.,1.,如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,.,已知,AB,=5cm,，,AO,=4cm,，求,BD,的长,.,【,选自教材,P4,页 随堂练习,】,达标检测,2.,已知：如图，在菱形,ABCD,中，,BAD,=2,B,.,求证：,ABC,是等边三角形,.,【,选自教材,P4,页 习题,1.1,第,1,题,】,证明：四边形,ABCD,是菱形,AD,BC,，,BAD,+,B,=180,，,又,BAD,=2,B,B,=60,，,AB,=,BC,，,ABC,是等边三角形,.,3.,如图，在菱形,ABCD,中，,BD,=6,，,AC,=8,，求菱形,ABCD,的周长,.,【,选自教材,P4,页 习题,1.1,第,2,题,】,证明：四边形,ABCD,是菱形,AC,BD,（菱形的对角线互相垂直）,AO,=,OC,，,BO,=,DO,（菱形的对角线互相平分）,.,在,Rt,AOD,中，,AO,=4,，,DO,=3,，,AD,=5.,菱形,ABCD,的周长为,20.,4.,已知：如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,.,求证：,AC,平分,BAD,和,BCD,，,BD,平分,ABC,和,ADC,.,【,选自教材,P4,页 习题,1.1,第,3,题,】,证明：四边形,ABCD,是菱形，,AB,=,AD,，,BO,=,DO,，,AC,BD,，,AC,平分,BAD,，,同理：,AC,平分,BCD,，,BD,平分,ABC,和,ADC,.,5.,如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,.,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？,【,选自教材,P5,页 习题,1.1,第,4,题,】,有,4,个等腰三角形，分别是,ABC,、,ADC,、,ABD,、,BCD,.,有,4,个直角三角形，分别是,AOB,、,AOD,、,BOC,、,COD,.,课堂小结,有一组邻边相等,具有平行四边形的所有性质,特殊性质,对角线,边,轴对称图形,第一章 特殊平行四边形,第1课时 菱形的性质,数学,初中数学北师大版九年级上册,1 菱形的性质与判定,菱形的定义和性质？,说一说,复习导入,定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形,.,边：四条边相等，对边平行,.,角：对角相等,.,对角线：对角线互相垂直平分,.,复习导入,菱形,平行四边形,满足？条件,探究新知,根据菱形的定义，,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,.,除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流,.,菱形,平行四边形,满足？条件,对角线,边,角,探究菱形的判定条件,平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？,猜想：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,.,你能证明吗？,已知,:,如图,在,ABCD,中,对角线,AC,与,BD,交于点,O,AC,BD,.,求证,:,ABCD,是菱形,证明,:,四边形,ABCD,是平行四边形,OA,=,OC,又,AC,BD,BD,是线段,AC,的垂直平分线,BA,=,BC,四边形,ABCD,是菱形,(,菱形定义,),定理,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,.,四边形,ABCD,是平行四边形，,AC,BD,，,四边形,ABCD,是菱形。,已知线段,AC,，你能用尺规作图的方法作一个菱形,ABCD,，使,AC,为菱形的一条对角线吗？,议一议,如图，分别以,A,，,C,为圆心，以大于,AC,为半径作弧，两弧交于,B,、,D,，依次连接,A,，,B,，,C,，,D,，四边形,ABCD,看上去是菱形,.,菱形,平行四边形,满足？条件,对角线,边,角,探究菱形的判定条件,平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？,猜想：,四边相等的四边形是菱形,.,已知：如图，在四边形,ABCD,中,AB,=,BC,=,CD,=,DA,求证：四边形,ABCD,是菱形。,证明：,AB,=,CD,，,BC,=,DA,四边形,ABCD,是平行四边形，,又,AB,=,BC,，,四边形,ABCD,是菱形（菱形的定义）,定理,四边相等的四边形是菱形,.,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB=BC=CD=DA,，,四边形,ABCD,是菱形。,做一做,你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！,例,2,已知：如图，在,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,AB,=,，,OA,=2,，,OB,=1.,求证：,ABCD,是菱形,.,证明：在,AOB,中，,AB,=,，,OA,=2,，,OB,=1,，,AB,2,=,AO,2,+,OB,2,.,AOB,是直角三角形，,AOB,是直角,.,AC,BD,.,ABCD,是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）,.,1.,画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为,4 cm,和,6 cm.,教材,P7,随堂练习,达标检测,（,1,）作,AC,=6cm,，取,AC,的中点,O,（,2,）作,BD,AC,，,OB,=,OD,=2cm,，,（,3,）依次连接点,A,，,B,，,C,，,D,.,2.,已知：如图，在,ABCD,中，对角线,AC,的垂直平分线分别与,AD,，,AC,，,BC,相交于点,E,，,O,，,F,.,求证：四边形,AFCE,是菱形,.,教材,P7,习题,1.2,第,1,题,证明：在,ABCD,中，,AD,BC,，即,AE,FC,.,又,EF,为,AC,的垂直平分线，,AC,EF,，,AO,=,OC,，,即,AOE,=,COF,=90,，,EAO,=,FCO,.,FOC,EOA,，即,AE,=,FC,.,四边形,AFCE,为平行四边形,.,又,AC,EF,，四边形,AFCE,是菱形,.,3.,已知：如图，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，点,E,，,F,，,G,，,H,分别是,OA,，,OB,，,OC,，,OD,的中点,.,求证：四边形,EFGH,是菱形,.,教材,P7,习题,1.2,第,2,题,证明：四边形,ABCD,是菱形，,AD,CB,，,AC,BD,.,又点,E,，,F,，,G,，,H,分别为,OA,，,OB,，,OC,，,OD,的中点，,HE,AD,且,HE=AD,，,FG,BC,且,FG,=,BC,，,HE,GF,，即四边形,EFGH,为平行四边形,.,又,AC,BD,，四边形,EFGH,是菱形,.,=,=,4.,如图，在四边形纸片,ABCD,中，,AD,BC,，,AD,CD,，将纸片沿过点,D,的直线折叠，使点,C,落在,AD,上的点,C,处，折痕,DE,交,BC,于点,E,，连接,CE,.,你能确定四边形,CDCE,的形状吗？证明你的结论,.,教材,P7,习题,1.2,第,3,题,四边形,CDCE,是菱形,.,证明：连接,CC,，交,DE,于点,O,.,由题意可知，,OC,=,OC,，,CD,=,CD,，,CE,=,CE,.,又,AD,BC,，,EOC,=,DOC,，,COE,COD,，即,EC,=,CD,.,又,CD,=,CD,，,CD,=,CD,=,EC,=,CE,，,四边形,CDCE,是菱形,.,课堂小结,菱形的判定定理,菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,.,四边相等的四边形是菱形,.,第一章 特殊平行四边形,第1课时 菱形的性质,数学,初中数学北师大版九年级上册,1 菱形的性质与判定,情景导入,如图所示：在,ABCD,中添加一个条件使其成为菱形：,添加方式,1,：,_,.,添加方式,2,：,_,.,一组邻边相等,AC,BD,回忆：菱形有哪些判定？,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,.,四边相等的四边形是菱形,.,新课导入,例,3