河北区2023年上学期期末高二年级质量检测数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线3x2y60的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()A. k，b3B. k，b2C. k，b3D. k，b3【答案】C【解析】【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可【详解】方程变形为：，此直线的斜率，直线在y轴上的截距故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键2. 圆的圆心和半径分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用配方法进行求解即可.【详解】，所以该圆的圆心为，故选：C3. 椭圆的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程得出，可求出离心率.【详解】由椭圆，可得，则所以椭圆的离心率为故选：A4. 双曲线的渐近线方程是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由，得所以双曲线的渐近线方程是选C5. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.【详解】解：由抛物线，可得其准线方程是.故选：A.6. 在等比数列中，若，则公比的值等于（）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由等比数列通项公式求解即可.【详解】在等比数列中，因为，所以，故选：C.7. 等比数列1，的前项和为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和.【详解】设该数列为，数列的公比为，由已知，所以，所以数列的前项和，故选：D.8. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由可知，该椭圆的焦点在y轴，且半焦距为，设双曲线方程为：，所以该双曲线的半焦距为，因为该双曲线的离心率，所以有，所以，因此双曲线的标准方程为，故选：A9. 如图，长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接，根据题中条件，得到为异面直线与所成角或其补角，结合题中数据，即可求出解.【详解】连接，在长方体中，易知，所以为异面直线与所成角或其补角，又在长方体中，所以，在中，由余弦定理得.因为异面直线所成的角的取值范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角10. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A. 0个B. 至多有一个C. 1个D. 2个【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.11. 在数列中，则数列的第5项为_.【答案】【解析】【分析】根据及递推公式计算可得结果.【详解】因为，所以，.故答案为：.12. 已知两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果.【详解】依题意可得圆心坐标为，半径为，所以以线段为直径的圆的标准方程为：.故答案为：.13. 与的等比中项是_.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的定义即可求解.【详解】设与的等比中项是，则，即，解得：，故答案为：14. 已知倾斜角为45的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则焦点的坐标为_；线段的长为_.【答案】 . . 8【解析】【分析】根据焦点坐标公式即可求解；根据弦长公式即可求解.【详解】因，所以，所以，的焦点为，即为.倾斜角为45的直线经过抛物线的焦点，所以直线的方程为，联立，所以，所以，故答案为： 815. 已知数列的前项和公式为，则_；数列的通项公式_.【答案】 . ； . 【解析】【分析】利用代入法，结合与之间的关系进行求解即可.【详解】在中，令中，得；当时，显然不适合，因此数列的通项公式，故答案为：；三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 已知等差数列中，.（1）求首项和公差；（2）求该数列的前10项的和的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列前项和公式进行求解即可.【小问1详解】因为在等差数列中，所以有；【小问2详解】因为在等差数列中，所以.17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可；（2）写出直线的方程，利用弦长公式可求得，并可计算点到直线的距离，故.【小问1详解】解：椭圆的一个顶点为，又离心率为，椭圆方程为.【小问2详解】解：，直线的方程为，由，消去，得，所以直线与椭圆有两个公共点，设为，则，又点到直线的距离，故【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题18. 如图，在长方体中，与交于点，的中点为.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为；（3）平面与平面夹角的余弦值为.【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面；(2)求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，与交于点，的中点为，所以，所以，所以，所以，即，又，平面，所以平面；【小问2详解】由(1)，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，可得，所以向量为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】由(1)，设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以为平面的一个法向量，又向量为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19. 已知数列是等差数列，是公比不等于1的等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；，（2），.【解析】【分析】（1）设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；（2）将，代入中化简，然后利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，所以解得或（舍去），所以等差数列的通项公式为：，等比数列的通项公式为：，.【小问2详解】由（1），所以，所以，所以，：，即，即，即，即，即，