2024-2025学年湖北省“鄂北联考”高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.经过点A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(k,4)，则k为()A. 2B. 4C. 12D. 142.已知直线l1:(a3)x+2y2=0，l2:2x+ay+1=0，若l1/l2，则a=()A. 4或1B. 4C. 1D. 1或43.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P在椭圆上，则PF1F2的周长为()A. 4B. 8C. 12D. 164.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为()A. 110B. 15C. 310D. 255.如图，已知空间四边形 OABC， OA，BC的中点分别为点M， N，点 G在线段MN上，且MG=13MN，则向量OG表示为()A. OG=13OA+16OB+16OCB. OG=13OA+13OB+16OCC. OG=13OA+13OB+13OCD. OG=16OA+13OB+13OC6.已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，下列说法若AB=，则P(AB)=0.7;若AB，则P(AB)=0.58;若AB，则P(AB)=0.12;若事件A，B相互独立，则P(AB)=0.12;若事件A，B相互独立，则P(AB)=0.58;正确的有()A. B. C. D. 7.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”ABCD中，AB平面BCD，且AB=BC=CD=2，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为()A. 24B. 13C. 23D. 338.已知M、N为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上关于坐标原点O对称的两点，c为椭圆的半焦距， P为平面上一点，且PMPN=0，|OP|=c，椭圆的左、右顶点分别为A、B，若NMAB=2ac，则椭圆的离心率为()A. 22B. 32C. 31D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1 和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”，C=“两个球颜色相同”，D=“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是()A. 事件A与事件B互斥B. 事件C与事件D对立C. 事件A与事件C相互独立D. 事件B与事件D相互独立10.下列说法正确的有()A. 经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y5=0B. 已知圆C:x22x+y22y4=0关于直线l:ax+by1=0(ab0)对称，则1a+4b的最小值是9C. 点M(x,y)在圆O:x2+y2=4上运动，点N(3,4)到点M的最小距离为3D. 若直线l:xy+m=0与曲线C:x= 4y2有两个不同的交点，则实数 m的取值范围是(2 2,211.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥CB1C1D1的体积为43，线段CC1，BC的中点分别为E，F，动点M在直线A1B上，动点N在下底面A1B1C1D1内(含边界)，且EN=AA1，则()A. 三棱锥MDEF的体积为定值B. 动点N的轨迹长度为 32C. 不存在点N，使得EN平面DEFD. 点N到平面DEF的距离的最大值为 15+26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知曲线x212m+y2m4=1表示椭圆，则m的取值范围为_.13.已知点A(2,3)，B(0,0)，动点P在直线xy1=0上，则|PA|+|PB|的最小值为_.14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足|PA|PB|=k(k0且k1)，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，圆C:(xa)2+y2=1.若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知ABC的点C(0,3)，边 BC上的中线AM所在的直线方程为x+5y4=0，边AC上的高BN所在的直线方程为4x3y+5=0.(1)求顶点A的坐标;(2)求直线AB的方程.16.(本小题15分)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生测试共有三题，至少答对两题方可通过.现有甲，乙两名考生参加测试.已知考生甲、乙答对第一题的概率分别为12，12，答对第二题的概率分别为13，13，答对第三题的概率分别为14，23，假设两人三题作答相互独立.(1)求考生甲通过测试的概率;(2)求考生甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.17.(本小题15分)已知圆C的圆心在直线x+3y2=0上，且经过点E(4,2)和F(2,0).(1)求圆C的标准方程;(2)过点A(1,1)作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求|PQ|.18.(本小题17分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，ABAD，AB=1，AD=4，AC=CD=2 2.(1)求证：PD平面PAB;(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 55?若存在，求出PMPB的值，若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用较链首尾链接，构成菱形LF2KQ.带槽杆QF1长为4，点F1，F2间的距离2，转动杆QF1一周的过程中始终有|QE|=|EF2|.点M在线段F1F2的延长线上，且|MF2|=3.(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹的方程;(2)过点F2的直线l1与交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，()证明：k1+k2为定值;()若直线l1的斜率为k，点N是轨迹上异于A、B的点，且NF2平分ANB，求|BN|AN|的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的方向向量，直线的斜率，属于基础题.根据直线的斜率公式即可求出.【解答】解：经过A0,2,B1,0两点的直线的方向向量为(k,4)，所以200(1)=4k，解得k=2故选：A.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的判定及应用，属于较易题.由条件结合直线平行结论列方程求a，并对所得结果进行检验.【解答】解：因为l1/l2，l1:(a3)x+2y2=0，l2:2x+ay+1=0，所以a(a3)=22，所以a23a4=0，解得a=1或a=4，当a=1时，l1:4x+2y2=0，l2:2xy+1=0，直线l1,l2重合，不满足要求，当a=4时，l1:x+2y2=0，l2:2x+4y+1=0，直线l1,l2平行，满足要求，故选：B.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题先确定椭圆中a、b、c的值，由椭圆的定义可知PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可求解【解答】解：由题意知：椭圆x216+y212=1中a=4，b=2 3，则c= 1612=2，PF1F2的周长=2a+2c=8+4=12.故选C.4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可得答案【解答】解：从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，可能的情况有：(1,3,6)，(1,3,9)，(1,3,10)，(1,6,9)，(1,6,10)，(1,9,10)，(3,6,9)，(3,6,10)，(3,9,10)，(6,9,10)，共有10种可能，其中，能构成三角形的只有(3,9,10)，(6,9,10)共2种可能，故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=210=15.故选B.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的基本定理及其意义，是中档题.根据空间向量的线性运算知识结合已知条件直接求解即可【解答】解：OG=OM+MG=OM+13MN=OM+13(MO+OC+CN)=23OM+13OC+16(OBOC)=13OA+16OB+16OC，OG=13OA+16OB+16OC.故选：A.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查互斥事件的概率加法公式，随机事件的交运算，相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.根据互斥事件的概率加法计算公式可知：对，错；又因为若AB，则P(AB)=P(A)，所以错；若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，正确；根据P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)可求解.【解答】解：P(A)=0.3，P(B)=0.4.若AB=，则P(AB)=P(A)+P(B)=0.7，正确；.P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)， 若AB，P(AB)的值不确定，故错误；.若AB，则P(AB)=P(A)=0.3，错误；.若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.12，正确；.若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.58，正确.故选D.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角，属于基础题.将三棱锥ABCD放入正方体中，建立空间直角坐标系，即可利用向量求异面直线CM与AB夹角的余弦值【解答】解：由题可知AB、BC、CD两两垂直，且AB=BC=CD=2.因此，如图，正方体内三棱锥ABCD即为满足题意的鳖臑ABCD，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，则B(0,0,0)，A(0,0,2)，C(0,2,0)，M(1,1,1)，则CM=(1,1,1)，BA=(0,0,2)，cosCM,BA=CMBA|CM|BA|=2 32= 33，则异面直线CM与AB夹角的余弦值为 33.故选：D.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查求椭圆的离心率、向量数量积的坐标运算，属于中档题.利用已知条件结合椭圆相关知识及向量数量积知识进行求解即可.【解答】解：M，N为椭圆上关于坐标原点对称的两点，设M(x1,y1)，则N(