2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题 共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为，所以，所以.故选：B2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故选：A3. “，”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，满足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 向量在向量上的投影向量为D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，即可求出，从而判断A，再根据判断B，根据投影向量的定义判断C，计算，即可判断D.【详解】单位向量，满足，则，所以，所以，又，所以，故A错误；，故B错误；因为，所以向量在向量上的投影向量为，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D5. 函数是（ ）A. 偶函数，且最小值为2B. 偶函数，且最大值为2C. 周期函数，且在上单调递增D. 非周期函数，且在上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D.【详解】定义域为，关于原点对称，所以为偶函数，又，令，当时，即，有最小值，最小值为，当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；因为，所以为周期函数，因为在上单调递减，在上单调递减，当，令，在单调递减，在单调递增，当，令，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；故C，D错误，故选：B.6. 印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（ ）A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.【详解】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数.记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件，则.故选：C7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围.【详解】若，在上，函数单调递增，所以；此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；因为函数的值域为，所以，结合得.若，则的值域为；若，在上，函数单调递减，所以（）；在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；所以函数的值域不可能为；若，则函数在上，函数单调递减，所以（）；在上，函数单调递增，此时函数的值域不可能为.综上可知：当时，函数的值域为.故选：D8. 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（ ）A. 999B. 1000C. 1001D. 1002【答案】C【解析】【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项，进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值.【详解】为正项数列的前项积， ，当时，时，又，即， 是首项为3，公差为2的等差数列，且.由，得若，则，所以，正整数的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（ ）A. 乙组数据的平均数为B. 乙组数据的极差为C. 乙组数据的第百分位数为D. 乙组数据的标准差为【答案】ABC【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：，则乙组数据从小到大排列为：，因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则，又，所以，所以乙组数据的平均数为，故A正确；乙组数据的极差为，故B正确；乙组数据的第百分位数为，故C正确；乙组数据的标准差为，故D错误.故选：ABC10. 在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 三棱台的体积为【答案】ABD【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D的真假.【详解】如图：对于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B：因为，且，所以.又三棱锥和 的高相同，所以，故B正确；对于C：因为，所以，所以，即，故C错误；对于D：因为三棱台的高为1，所以三棱台的体积为：，故D正确.故选：ABD11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A：令，则；令，则.所以，故A正确；对B：因为，两边求导，得即；因数为偶函数，所以，所以，故成立，故B正确；对C：因为，所以，未必0，故C错误；对D：因为，令，则，故D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则：（1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数.反之也成立.（2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若，则=_【答案】【解析】【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得，进而可得解.【详解】联立，得，因此故答案为：13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由已知及是等边三角形即可求得：,，利用椭圆定义列方程可得：，整理得：，问题得解【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：，又为等边三角形，由椭圆的对称性可得：，又计算可得：,由椭圆定义可得：整理得：所以【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题14. 现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、，对、取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、，若、都没有取到，则有种不同的取法；若、取到一个，则有种不同的取法；若、取到两个，则有种不同的取法；若、取到三个，则有种不同的取法；综上可得一共有种不同的取法.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，满分77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，内角，所对的边分别为，且，.（1）求的面积；（2）若，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，从而得到，再由面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到，从而得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，所以，所以；小问2详解】因为，又，所以，所以，则，由正弦定理可得，又，所以，显然，所以，则，又，所以.16. 如图，四棱锥底面是正方形，且，.四棱锥的体积为. （1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，设到平面的距离为，根据锥体的体积公式求出，即可得到平面，从而得证；（2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取的中点，连接，因为，所以，又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，则，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】取的中点，连接，则，即，如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，所以，设平面的法向量为，则，取，又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17. 已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数存在两个零点，且，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）答案见解析 （3）【解析】【分析】（1）求出，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得，再分、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由，可得必有一个零点为，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为，所以，则，所以函数在处的切线方程为；【小问2详解】函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，